Sword to Offer | 面试题 14：打印从 1 到最大的 n 位数

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打印从1到最大的n位数

“Leetcode : https://leetcode-cn.com/problems/da-yin-cong-1dao-zui-da-de-nwei-shu-lcof

“GitHub : https://gitee.com/nateshao/leetcode/blob/main/algo-notes/src/main/java/com/nateshao/sword_offer/topic_12_hammingWeight/Solution.java

题目描述： 输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。

示例 1:

输入: n = 1
输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

说明：

• 用返回一个整数列表来代替打印
• n 为正整数

解题思路：

题目要求打印 “从 1 至最大的 n 位数的列表” ，因此需考虑以下两个问题：

1. 最大的n位数(记为end)和位数n的关系: 例如最大的1位数是9，最大的2位数是99，最大的3位数是999。则可推出公式:

1. 大数越界问题: 当n较大时，end会超出int32整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储。但由于本题要求返回int类型数组，相当于默认所有数字都在int32 整型取值范围内，因此不考虑大数越界问题。

因此，只需定义区间[1, 10”- 1]和步长1 ,通过for循环生成结果列表res并返回即可。复杂度分析:

• 时间复杂度 o(10^n) ：生成长度为 10^n 的列表需使用 o(10^n) 时间。
• 空间复杂度 o(1) ：建立列表需使用 o(1) 大小的额外空间(列表作为返回结果，不计入额外空间

代码:

package com.nateshao.sword_offer.topic_14_printNumbers;

import java.util.Arrays;

/**
 * @date Created by 邵桐杰 on 2021/11/21 16:22
 * @微信公众号 程序员千羽
 * @个人网站 www.nateshao.cn
 * @博客 https://nateshao.gitee.io
 * @GitHub https://github.com/nateshao
 * @Gitee https://gitee.com/nateshao
 * Description:
 */
public class Solution {

    public int[] printNumbers(int n) {
        int end = (int) Math.pow(10, n) - 1;
        int[] res = new int[end];
        for (int i = 0; i < end; i++)
            res[i] = i + 1;
        return res;
    }

}

大数打印解法:

实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题:

1. 表示大数的变量类型:
   • 无论是short/ int/long ... 任意变类型,数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串String类型。
2. 生成数字的字符串集:
   • 使用int类型时，每轮可通过+1生成下个数字，而此方法无法应用至String类型。并且，String类型的数字的进位操作效率较低，例如9999” 至“ 10000” 需要从个位到千位循环判断， 进位4次。
   • 观察可知，生成的列表实际上是n位0-9的全排列，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的String列表。
3. 递归生成全排列:
   • 基于分治算法的思想，先固定高位,向低位递归，当个位已被固定时,添加数字的字符串。例如当n=2时(数字范围1-99)，固定十位为0-9 ,按顺序依次开启递归，固定个位0-9 ,终止递归并添加数字字符串。

class Solution {
    StringBuilder res;
    int count = 0, n;
    char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
    public String printNumbers(int n) {
        this.n = n;
        res = new StringBuilder(); // 数字字符串集
        num = new char[n]; // 定义长度为 n 的字符列表
        dfs(0); // 开启全排列递归
        res.deleteCharAt(res.length() - 1); // 删除最后多余的逗号
        return res.toString(); // 转化为字符串并返回
    }
    void dfs(int x) {
        if(x == n) { // 终止条件：已固定完所有位
            res.append(String.valueOf(num) + ","); // 拼接 num 并添加至 res 尾部，使用逗号隔开
            return;
        }
        for(char i : loop) { // 遍历 ‘0‘ - ’9‘
            num[x] = i; // 固定第 x 位为 i
            dfs(x + 1); // 开启固定第 x + 1 位
        }
    }
}

在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串。返回的数字集字符串如下所示：

输入：n = 1
输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"

输入：n = 2
输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99"

输入：n = 3
输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999"

观察可知，当前的生成方法仍有以下问题: .

1. 诸如00, 01, 02,...应显示为0,1,2,...，即应删除高位多余的0 ;
2. 此方法从0开始生成，而题目要求列表从1开始;

以上两个问题的解决方法如下:

1. 删除高位多余的0 :
   • 字符串左边界定义:声变量start规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串num[start:] 中无高位多余的0。 例如当n=2时，1-9时start=1，10- 99时start= 0。
   • 左边界start变化规律: 观察可知，当输出数字的所有位都是9时，则下个数字需要向更高位进1,此时左边界start需要减1 (即高位多余的 0减少一个)。 例如当n=3 (数字范围1-999) 时,左边界start 需要减1的情况有: "009" 进位至"010"，"099" 进位至"100"。设数字各位中9的数量为nine，所有位都为9的判断条件可用以下公式表示:

   n - start = nine

   • 统计nine的方法: 固定第x位时，当i=9则执行nine = nine +1，并在回溯前恢复nine = nine一1。
2. 列表从1开始:

• 在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 "0" ，若为 "0" 则直接跳过。

复杂度分析:

• 时间复杂度0(10^n) :递归的生成的排列的数量为10^n 。
• 空间复杂度0(10^n) :结果列表res的长度为10^n - 1，各数字字符串的长度区间为1.,....n, 因此占用O(10^n) 大小的额外空间。

代码:为正确表示大数，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。

class Solution {
    int[] res;
    int nine = 0, count = 0, start, n;
    char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
    public int[] printNumbers(int n) {
        this.n = n;
        res = new int[(int)Math.pow(10, n) - 1];
        num = new char[n];
        start = n - 1;
        dfs(0);
        return res;
    }
    void dfs(int x) {
        if(x == n) {
            String s = String.valueOf(num).substring(start);
            if(!s.equals("0")) res[count++] = Integer.parseInt(s);
            if(n - start == nine) start--;
            return;
        }
        for(char i : loop) {
            if(i == '9') nine++;
            num[x] = i;
            dfs(x + 1);
        }
        nine--;
    }
}

参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/da-yin-cong-1dao-zui-da-de-nwei-shu-lcof/solution/mian-shi-ti-17-da-yin-cong-1-dao-zui-da-de-n-wei-2

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