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离散数学（I）

最编程 2024-03-26 10:30:00
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  1. 非真即假的陈述句称为命题
  2. 不能被分解的命题称为简单命题或原子命题，由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题
  3. 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式，也称为命题公式
  4. 设A为任一命题公式
  • 若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A为永真式或重言式
  • 若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A为永假式或矛盾式
  • 若A不是矛盾式，则称A是可满足式（A至少存在一个成真赋值，重言式一定是可满足式）
  1. 命题变项及其否定统称为文字。
    仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式
    仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式
    一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定式
    一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定式
  2. 范式
    由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式
    由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式
    析取范式和合取范式统称为范式
  3. 范式存在定理
    任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式
  4. 极小项和极大项
    在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典顺序排列，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）
  5. 主析取范式
    所有简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项）的析取范式（合取范式）称为主析取范式（主合取范式）
    任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的
  6. 判断推理正确与否
  • 真值表法
  • 等值演算法
  • 主析取范式法
  1. 形式系统
  • 自然推理系统：从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论（它是有效的结论，可能是重言式，也可能不是重言式）
  • 公理推理系统：只能从若干条给定的公理出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
  1. 一阶逻辑（一阶谓词逻辑或谓词逻辑）
    在命题逻辑中不能很好的描述“凡偶数都能被2整除”中的“凡”字，为了克服命题逻辑的局限性，需要引入量词，以期达到表达出个体与总体之间的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑研究的内容
  2. 闭式
    设A是任意公式，若A中不含*出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式
  3. 前束范式
    具有如下形式Q1x1Q2x2...QkxkB的一阶逻辑公式称为前束范式，其中Q为量词存在或任意，B不含量词的公式。
    前束范式存在定理：一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前述范式
  4. 集合之间的关系和初级运算可以用文恩图（Venn Diagram）给予形象的描述。

  5. 包含排斥原理（容斥原理）
    在计数时，必须没有重复和遗漏。可以先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复的数目排斥出去，使得计算结果既无遗漏有无重复，这种计数方法称为容斥原理。


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  6. 笛卡尔积
    设A，B为集合，用A中的元素作为第一元素，B中的元素作为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积，记作AxB.
  7. 二元关系
    如果一个集合满足以下条件之一，则称该集合为一个二元关系。
  • 集合非空，且它的元素都是有序对
  • 集合是空集
  1. 设A，B为集合，AxB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，当B=A时叫做A上的二元关系
    集合A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A).

  2. 等价关系
    设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。


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    以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记作A/R.
    商集就是A上的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。A上的等价关系和A的划分是一一对应的。

  3. 偏序关系
  • 设R是非空集合A上的关系，若R是自反的、反对称的、传递的，则称R为A上的偏序关系。记作‘小于等于’，表示在偏序关系中的顺序性，排在前面或相同。
  • 设R是非空集合A上的偏序关系，如果任意x，y属于A，x与y都是可比的的，则称R为A上的全序关系。如数集上的小于等于关系是全序关系，因为任何两个数都可比大小；而集合{1,2,3}上的整除关系就不是全序关系，因为2和3不可比。
  • 集合A和A上的偏序关系一起构成偏序集
  • 偏序集中极小元和最小元不同，最小元是集合中最小的元素，它与集合中的其它元素都可比；而极小元不一定和集合中的元素都可比，只是没有比它小的元素。极小元一定存在，并且可能有多个；最小元不一定存在，若存在也是唯一的。
  1. f: A->B
  • 若ranf=B，则称f: A->B是满射的
  • 若任意y属于ranf，都存在唯一的x属于A使得f(x)=y，则称f: A->B是单射的（函数要单调）
  • 若f: A->B既是满射又是单射的，则称f: A->B是双射的（一一映射）
  1. 集合的势
    集合的势就是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素就越多。
    设A，B是集合，如果存在从A到B的双射函数，就称A和B是等势的。
    设A，B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优势于A。
    一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势；如果一个集合不是有穷的，就称为无穷集。如{a, b, c}=3
    任何有穷集只与唯一的自然数等势。
    对于有穷集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基数，记作cardA或|A|.
    自然数集合N的基数记作阿列夫零，实数集R的基数记作阿列夫。
    设A为集合，若cardA小于等于阿列夫零，则称A是可数集或可列集。

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