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复数的三角表达式和指数表达式

最编程 2024-03-27 18:27:25

...

引子

三角函数是几何中圆形的解析表达方式。指数函数通常和几何没有什么关系，它们是怎么关联起来的呢？

这要归功于欧拉公式：

欧拉公式

当 $\theta = \pi$ 时，欧拉公式演变为 $-1 + 0 = e^{i\pi}$ 即 $e^{i\pi}+1=0$ ，被评为“最美数学公式”。
当 $\theta = 2\pi$ 时，欧拉公式演变为 $1 + 0 = e^{2i\pi}$ 即 $(e^{i\pi})^2=1$ 。
当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，演变为 $i = e^{i \frac{\pi}{2}}$ ;

复数的表示

复数的二维解析表达式是 $z = x + \text{i}y$ ，其中x是实部，y是虚部。
如果使用极坐标，模为r幅角为 $\theta$ 的复数可以表示为 $z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta)$ 。

在复平面中绘制单位圆，原点到圆周上的点长度都是1，构成的向量是“单位向量”。圆周上的点对应的复数都叫“单位复数”。
当复数模为1时（即 $x^2+y^2=1$ ）， $z=\cos \theta + \text{i} \sin \theta$ ，就是欧拉公式的一边。

代入欧拉公式， $z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta) = r e^{i\theta}$ 。

我们重新表达一下离散傅里叶变换DFT入门中 $x^8=1$ 的8个单位复根

单位复根

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