辐射度量学整理

最编程 2024-04-04 12:31:49

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辐射度量学（Radiometry）是有关电磁辐射的计量、计算的科学，可见光也属于电磁辐射的范围内，所以辐射度量学适用于可见光的表示、测量和计算。我们使用辐射度量学衡量光照和着色，是符合现实中物理定律的，在是物理上完全正确的模型。
引入辐射度量学的原因： 1. 传统Blinn-Phong模型计算着色是基于经验的，无法得到符合真实物理的效果。 2. whitted-style光线追踪对于漫反射物体着色时就使用了Blinn-Phong模型，同时whitted-style光线追踪也不符合能量守恒。

辐射度量学的物理量

辐射能量 Radiant Energy、辐射通量 Radiant flux

辐射能量（Radiant Energy）Q：是电磁辐射的能量，单位是焦耳 $J$ ，在图形学计算中很少使用。 $Q$
辐射通量（Radiant Flux），也称为辐射功率（power），符号 $\Phi$ ，单位瓦特 $W$ 或流明 $lm$ 。我们通常使用辐射通量来描述光线亮度(颜色)。
$\Phi=\frac{ \dd Q}{ \dd t}$

立体角

弧长、弧度与角度
平面角（Angle） $\theta$ 是二维空间的角度，等于对应的弧长 $l$ 除以半径 $r$ ，即为平面角的角度。圆周上平面角的总和为 $2\pi$ 。
$\theta=\frac{l}{r}$
立体角
立体角（Solid Angle） $\Omega$ 是三维空间中的球面角度，等于对应的球面面积 $A$ 除以半径 $r$ 的平方，是空间中的角度。球面上立体角的总和为 $4\pi$ 。
$\Omega=\frac{A}{r^2}$

立体角.png
微分立体角
是球面空间上一个方向上的单位立体角 $\dd \omega$ ，为了描述这个方向，需要用到俯仰角 $\theta$ 和水平方位角 $\phi$ 。我们知道立体角是球面面积除以半径的平方，于是微分立体角就是球面微分面积除以半径的平方。而球面微分面积恰恰可以通过俯仰角的微分增量 $\dd \theta$ 对应的弧长 $r\dd \theta$ 和水平方位角的微分增量 $\dd \phi$ 对应的弧长 $rsin\theta \dd\phi$ ，相乘近似求得。
$\dd \omega=\frac{\dd A}{r^2}=\frac{(r\dd \theta)(rsin\theta\dd \phi)}{r^2}=sin\theta\dd \theta\dd \phi$

微分立体角.jpg

辐射强度 Radiant Intensity、辐照度 Irradiance、辐射 Radiance

辐射强度
辐射强度（Radiant Intensity）是从光源出发，每单位立体角上的功率（亮度）。
$I(\omega)=\frac{ \dd \Phi}{ \dd \omega }$
由于整个球面上功率的积分即光源的功率，所以对于各向同性的点光源有：
$\dd \Phi=I \dd \omega \rightarrow \Phi=\int_{S^ 2}I\dd \omega = 4 \pi I$
辐照度
辐照度（Irradiance）是入射投影到单位面积上的功率（光照、辐射通量），符号 $E$ ，单位勒克斯 $lux$ 。
$E(x)=\frac{\dd \Phi (x) }{\dd A}$
辐照度与辐射入射角度有关，相当于光线投影到单位面积上的功率，所以适用余弦定律——表面辐照度与辐射传播方向和表面法线的夹角余弦值成正比。（我们由此也能得知，Blinn-Phong中漫反射的亮度计算中需要考虑光线与表面的夹角的理由）

余弦法则.png

由于辐照度是单位面积接收的功率大小，所以对于同一面积，距离点光源的距离远近会影响接收的功率大小。例如，对于各向同性的点光源，在距离为1的单位面积上的辐照度为 $E=\frac{\Phi}{4\pi}$ ；而在距离为2的单位面积上的辐照度为 $E=\frac{\Phi}{4\pi*2^2}$ 。这就是辐照度距离衰减。

辐照度衰减.png

辐射
辐射（Radiance）是描述光在环境中分布的基本场量，符号为 $L$ ，单位尼特 $nit$ 。辐射描述了每单位立体角、每单位垂直面积的功率，它同时指出了辐射的方向与接收表面的大小，从而得到亮度，可以描述发射、反射、投射或接收的辐射功率。（注意：这里的面积与辐照度不同，辐照度的面积只是单位面积，而辐射的面积是单位垂直面积，是假定与辐射传播方向垂直的，关系上来说， $\dd A^{\bot} =\dd A \cos\theta$ ， $θ$ 为表面法线与辐射方向的夹角）
$L(p,\omega)=\frac{\dd E(p)}{\dd \omega \cos\theta}$
进一步计算，我们可以得到：

辐射与辐照度.jpg

由此可知，单位面积的辐照度为对正半球的所有辐射的投影的积分。这公式也说明了，单位面积所接收的亮度（功率），是由正半球所有辐射的贡献求和得到的。我们对一点计算着色，就是在对这一点的正半球所有光线计算贡献并求和。