区间DP模型

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环形石子合并

题目描述：

将 $n$ 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 $n$ 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最小。

输入格式
第一行包含整数 $n$，表示共有 $n$ 堆石子。

第二行包含 $n$ 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式
输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，第二行为合并得分总和最大值。

数据范围
$1\le n\le 200$

输入样例：

4
4 5 9 4

输出样例：

43
54

思路

通过把原数组复制元素扩容到原来的两倍，这样便利起始位置 start 为 $[0,n)$，长度为 $n$，这样终止位置便为 $[0+n-1,n+n-1)$，用普通的石子区间DP遍历这样的几个 $start$ 就可以得到最终答案。这样模拟起始位置相当于，模拟环状的各种断裂位置。

代码实现

import sys
from math import inf
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))
nums = nums + nums

s = [0 for _ in range(2 * n + 1)]
for i in range(2 * n):
    s[i + 1] = s[i] + nums[i]
    

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]
for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n - 1):
        f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j + 1] - s[i] for k in range(i, j))
print(min(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]
for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n - 1):
        f[i][j] = max(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j + 1] - s[i] for k in range(i, j))
print(max(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

能量项链

题目描述：

在 $Mars$ 星球上，每个 $Mars$ 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 $N$ 颗能量珠。

能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。

并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。

因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 $Mars$ 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。

如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m\times r\times n$（$Mars$ 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时， $Mars$ 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。

显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。

我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4、1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 $((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3)=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$。

输入格式：

输入的第一行是一个正整数 $N$ ，表示项链上珠子的个数。

第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$，第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记，当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记，第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

输出只有一行，是一个正整数 $E$ ，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

数据范围：

$4\le N\le 100,1\le E\le 2.1\times 10^9$

输入样例：

4
2 3 5 10

输出样例：

710

代码实现

与上一题的思路相同

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))
nums = nums + nums

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]

for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n):
        f[i][j] = max(f[i][k] + f[k + 1][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k + 1] for k in range(i, j))

print(max(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

加分二叉树

题目描述：

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $tree$ 的中序遍历为 $(1,2,3,\dots ,n)$，其中数字 $1,2,3,\dots ,n$ 为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$tree$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $subtree$（也包含 $tree$ 本身）的加分计算方法如下：

$subtree$ 的左子树的加分 $\times subtree$ 的右子树的加分 $+subtree$ 的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为 $1$。

叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 ( 1 , 2 , 3