一个 Sqrt 函数引发的血案
好吧,我承认我标题党了,不过既然你来了,就认真看下去吧,保证你有收获。
我们平时经常会有一些数据运算的操作,需要调用sqrt,exp,abs等函数,那么时候你有没有想过:这个些函数系统是如何实现的?就拿最常用的sqrt函数来说吧,系统怎么来实现这个经常调用的函数呢?
虽然有可能你平时没有想过这个问题,不过正所谓是“临阵磨枪,不快也光”,你“眉头一皱,计上心来”,这个不是太简单了嘛,用二分的方法,在一个区间中,每次拿中间数的平方来试验,如果大了,就再试左区间的中间数;如果小了,就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果,你先试(0+16)/2=8,8*8=64,64比16大,然后就向左移,试(0+8)/2=4,4*4=16刚好,你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了:
float SqrtByBisection(float n) //用二分法
{
if(n<0) //小于0的按照你需要的处理
return n;
float mid,last;
float low,up;
low=0,up=n;
mid=(low+up)/2;
do
{
if(mid*mid>n)
up=mid;
else
low=mid;
last=mid;
mid=(up+low)/2;
}while(abs(mid-last) > eps);//精度控制
return mid;
}
然后看看和系统函数性能和精度的差别(其中时间单位不是秒也不是毫秒,而是CPU Tick,不管单位是什么,统一了就有可比性)
从图中可以看出,二分法和系统的方法结果上完全相同,但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢?难道系统有什么更好的办法?难道。。。。哦,对了,回忆下我们曾经的高数课,曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”,或者这种方法可以帮助我们,具体步骤如下:
求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如,我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:
( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
....
这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。
相关的代码如下:
float SqrtByNewton(float x)
{
float val = x;//最终
float last;//保存上一个计算的值
do
{
last = val;
val =(val + x/val) / 2;
}while(abs(val-last) > eps);
return val;
}
然后我们再来看下性能测试:
哇塞,性能提高了很多,可是和系统函数相比,还是有这么大差距,这是为什么呀?想啊想啊,想了很久仍然百思不得其解。突然有一天,我在网上看到一个神奇的方法,于是就有了今天的这篇文章,废话不多说,看代码先:
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return 1/x;
}
然后我们最后一次来看下性能测试:
这次真的是质变了,结果竟然比系统的还要好。。。哥真的是震惊了!!!哥吐血了!!!一个函数引发了血案!!!血案,血案。。。
到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”,到底为什么速度那么快吗?不急,先看看下面的故事吧:
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错,而且即使计算机配置低,也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克(John Carmack)。事实上早在90年代初DOS时代,只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候,John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励,doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效,几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见,修改了不少API。
最近,QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议,公开了QUAKE-III的原代码,让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址: http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
(下面是官方的下载网址,搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的。ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)
我们知道,越底层的函数,调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数(在game/code/q_math.c), 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数,很多都令人惊奇,估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍:
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。 注意到这个函数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代,直接运算)。编译,实验,这个函数不仅工作的很好,而且比标准的sqrt()函数快4倍!要知道,编译器自带的函数,可是经过严格仔细的汇编优化的啊! 这个简洁的函数,最核心,也是最让人费解的,就是标注了“what the fuck?”的一句 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 两句话就完成了开方运算!而且注意到,核心那句是定点移位运算,速度极快!特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上,这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
没错,一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值,就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣,决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人,在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值,和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛,他是外星人吗?
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意,于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛,看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了,采用暴力方法一个数字一个数字试过来,终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字,虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似,这个暴力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文,"Fast Inverse Square Root"。 论文下载地址: http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf
参考:<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>
最后,给出最精简的1/sqrt()函数:
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return x;
}
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验,惊讶一下它的工作效率。
前两天有一则新闻,大意是说 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到这么样的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code):
float InvSqrt (float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i>>1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
return x;
}
他一看之下惊为天人,想要拜见这位前辈高人,但是一路追寻下去却一直找不到人;同时间也有其他人在找,虽然也没找到出处,但是 Chris Lomont 写了一篇论文 (in PDF) 解析这段 code 的算法 (用的是 Newton’s Method,牛顿法;比较重要的是后半段讲到怎么找出神奇的 0x5f3759df 的)。 PS. 这个 function 之所以重要,是因为求 开根号倒数 这个动作在 3D 运算 (向量运算的部份) 里面常常会用到,如果你用最原始的 sqrt() 然后再倒数的话,速度比上面的这个版本大概慢了四倍吧… XD PS2. 在他们追寻的过程中,有人提到一份叫做 MIT HACKMEM 的文件,这是 1970 年代的 MIT 强者们做的一些笔记 (hack memo),大部份是 algorithm,有些 code 是 PDP-10 asm 写的,另外有少数是 C code (有人整理了一份列表)
好了,故事就到这里结束了,希望大家能有有收获:),我把源码也提供下载了,有兴趣的朋友们可以自己运行下试试看。
源码下载地址:http://diducoder.com/sotry-about-sqrt.html
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else return; }else if(buflen == 0) { // 这里表示对端的socket已正常关闭. } if(buflen == sizeof(buf) rs = 1; // 需要再次读取 else rs = 0; } 还有,假如发送端流量大于接收端的流量(意思是epoll所在的程序读比转发的socket要快),由于是非阻塞的socket,那么send函数虽然返回,但实际缓冲区的数据并未真正发给接收端,这样不断的读和发,当缓冲区满后会产生EAGAIN错误(参考man send),同时,不理会这次请求发送的数据.所以,需要封装socket_send的函数用来处理这种情况,该函数会尽量将数据写完再返回,返回-1表示出错。在socket_send内部,当写缓冲已满(send返回-1,且errno为EAGAIN),那么会等待后再重试.这种方式并不很完美,在理论上可能会长时间的阻塞在socket_send内部,但暂没有更好的办法. ssize_t socket_send(int sockfd, const char* buffer, size_t buflen) { ssize_t tmp; size_t total = buflen; const char *p = buffer; while(1) { tmp = send(sockfd, p, total, 0); if(tmp < 0) { // 当send收到信号时,可以继续写,但这里返回-1. if(errno == EINTR) return -1; // 当socket是非阻塞时,如返回此错误,表示写缓冲队列已满, // 在这里做延时后再重试. if(errno == EAGAIN) { usleep(1000); continue; } return -1; } if((size_t)tmp == total) return buflen; total -= tmp; p += tmp; } return tmp; } 二、epoll在LT和ET模式下的读写方式 在一个非阻塞的socket上调用read/write函数, 返回EAGAIN或者EWOULDBLOCK(注: EAGAIN就是EWOULDBLOCK) 从字面上看, 意思是: * EAGAIN: 再试一次 * EWOULDBLOCK: 如果这是一个阻塞socket, 操作将被block * perror输出: Resource temporarily unavailable 总结: 这个错误表示资源暂时不够, 可能read时, 读缓冲区没有数据, 或者, write时,写缓冲区满了 。 遇到这种情况, 如果是阻塞socket, read/write就要阻塞掉。 而如果是非阻塞socket, read/write立即返回-1, 同 时errno设置为EAGAIN. 所以, 对于阻塞socket, read/write返回-1代表网络出错了. 但对于非阻塞socket, read/write返回-1不一定网络真的出错了. 可能是Resource temporarily unavailable. 这时你应该再试, 直到Resource available. 综上, 对于non-blocking的socket, 正确的读写操作为: 读: 忽略掉errno = EAGAIN的错误, 下次继续读 写: 忽略掉errno = EAGAIN的错误, 下次继续写 对于select和epoll的LT模式, 这种读写方式是没有问题的. 但对于epoll的ET模式, 这种方式还有漏洞. epoll的两种模式 LT 和 ET
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对方给你转了 60 元--三角函数法的精确位执行--上面是弧弦(x)的泰勒级数,,你是不是心里有数啊!!!! 下一个!为刚才写sin(x)的实现提供参考!->明人不说暗话,代码直接上...
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NeurIPS 2022 | 最强斗地主AI!网易互娱AI Lab提出基于完美信息蒸馏的方法-完美信息蒸馏(PTIE) 在斗地主游戏中,非完美信息的引入主要是由于三位玩家均不能看到别人的手牌,对于任意一位玩家而言,仅可知道其余两位玩家当前手牌的并集,而难于精准判断每位玩家当前手牌。完美信息蒸馏的思路是针对这种非完美问题,构建一个第三方角色,该角色可以看到三位玩家的手牌,该角色在不告知每位玩家完美信息的情况下通过信息蒸馏的方式引导玩家打出当前情况下合理的出牌。 以强化学习常用的 Actor-Critic 算法为例,PTIE 在 Actor-Critic 算法的应用中可以利用 Critic 的 Value 输出作为蒸馏手段来提升 Actor 的表现。具体而言即在训练中 Critic 的输入为完美信息(包含所有玩家的手牌信息),Actor 的输入为非完美信息(仅包含自己手牌信息),此种情况下 Critic 给予的 Value 值包含了完美信息,可以更好地帮助 Actor 学习到更好的策略。 从更新公式上来看,正常的 Actor-Critic 算法 Actor 更新的方式如下: 在 PTIE 模式下,对于每个非完美信息状态 h,我们可以在 Critic 中构建对应的完美信息状态 D(h),并用 Critic 的输出来更新 Actor 的策略梯度,从而达到完美信息蒸馏的效果。 PTIE 框架的整体结构如下图所示: 无论是训练还是执行过程中智能体都不会直接使用完美信息,在训练中通过蒸馏将完美信息用于提升策略,从而帮助智能体达到一个更高的强度。 PTIE 的另一种蒸馏方式是将完美信息奖励引入到奖励值函数的训练中,PerfectDou 提出了基于阵营设计的完美信息奖励 node reward,以引导智能体学习到斗地主游戏中的合作策略,其定义如下: 如上所示,完美信息部分 代表 t 时刻地主手牌最少几步可以出完,在斗地主游戏中可以近似理解为是距游戏获胜的距离, 代表 t 时刻地主阵营和农民阵营距游戏获胜的距离之差, 为调节系数。通过此种奖励设计,在训练时既可以一定程度地引入各玩家的手牌信息(出完的步数需要知道具体手牌才能计算),同时也鼓励农民以阵营的角度做出决策,提升农民的合作性。 特征构建: PerfectDou 针对牌类游戏的特点主要构建了两部分特征:牌局状态特征和动作特征。其中牌局状态特征主要包括当前玩家手牌牌型特征、当前玩家打出的卡牌牌型特征、玩家角色、玩家手牌数目等常用特征,动作特征主要用于刻画当前状态下玩家的所有可能出牌,包括了每种出牌动作的牌型特征、动作的卡牌数目、是否为最大动作等特征。 牌型特征为 12 * 15 的矩阵,如下图所示: 该矩阵前 4 行代表对应每种卡牌的张数,5-12 行代表该种卡牌的种类和对应位置。 网络结构和动作空间设计 针对斗地主游戏出牌组合数较多的问题,PerfectDou 基于 RLCard 的工作上对动作空间进行了简化,对占比最大的两个出牌牌型:飞机带翅膀和四带二进行了动作压缩,将整体动作空间由 27472 种缩减到 621 种。 PerfectDou 策略网络结构如下图所示: 策略网络结构同样分为两部分:状态特征部分和动作特征部分。 在状态特征部分,LSTM 网络用于提取玩家的历史行为特征,当前牌局状态特征和提取后的行为特征会再通过多层的 MLP 网络输出当前的状态信息 embedding。 在动作特征部分,每个可行动作同样会经过多层 MLP 网络进行编码,编码后的动作特征会与其对应的状态信息 embedding 经过一层 MLP 网络计算两者间的相似度,并经由 softmax 函数输出对应的动作概率。 实验结果
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发现一个有趣的函数:av_strerror,它有助于分析错误代码。