# 冒泡排序算法的原理和实现
冒泡排序(Bubble Sort)是排序算法里面比较简单的一个排序。它重复地走访要排序的数列,一次比较两个数据元素,如果顺序不对则进行交换,并一直重复这样的走访操作,直到没有要交换的数据元素为止。
冒泡排序的原理
为了更深入地理解冒泡排序的操作步骤,我们现在看一下冒泡排序的原理。
首先我们肯定有一个数组,里面存放着待排序的元素列表,我们如果需要把比较大的元素排在前面,把小的元素排在后面,那么需要从尾到头开始下面的比较操作:
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从尾部开始比较相邻的两个元素,如果尾部的元素比前面的大,就交换两个元素的位置。
-
往前对每个相邻的元素都做这样的比较、交换操作,这样到数组头部时,第 1 个元素会成为最大的元素。
-
重新从尾部开始第 1、2 步的操作,除了在这之前头部已经排好的元素。
-
继续对越来越少的数据进行比较、交换操作,直到没有可比较的数据为止,排序完成。
注意,看完了这里的操作步骤,我们可以想一下,如果从头到尾进行操作是否可以?当然不可以,不过这样可以完成从小到大的排序。
假如我们要把 12、35、99、18、76 这 5 个数从大到小进行排序,那么数越大,越需要把它放在前面。冒泡排序的思想就是在每次遍历一遍未排序的数列之后,将一个数据元素浮上去(也就是排好了一个数据)。
我们从后开始遍历,首先比较 18 和 76,发现 76 比 18 大,就把两个数交换顺序,得到 12、35、99、76、18;接着比较 76 和 99,发现 76 比 99 小,所以不用交换顺序;接着比较 99 和 35,发现 99 比 35 大,交换顺序;接着比较 99 和 12,发现 99 比 12 大,交换顺序。最终第 1 趟排序的结果变成了 99、12、35、76、18,排序的过程如图 1 所示。
图 1 第 1 趟冒泡排序的过程示例
经过第 1 趟排序,我们已经找到了最大的元素,接下来的第 2 趟排序就只对剩下的 4 个元素排序。第 2 趟排序的过程示例如图 2 所示。
图 2 第 2 趟冒泡排序的过程示例
经过第 2 趟排序,结果为 99、76、12、35、18。接下来应该进行第 3 趟排序了,剩下的元素不多,比较次数也在减少。
第3趟排序的结果应该是 99、76、35、12、18,接下来第 4 趟排序的结果是 99、76、35、18、12,经过 4 趟排序之后,只剩一个 12 需要排序了,这时已经没有可比较的元素了,所以排序完成。
这个算法让我想起了小时候在操场排队跑步,老师总是说:“高的站前面,低的站后面”。我们一开始并不一定会站到准确的位置上,接着老师又说:“你比前面的高,和前面的换换,还高,再和前面换换”,就这样找到了自己的位置。
通过这个例子,你是否已经完全掌握了排序算法的精髓呢?
冒泡排序的实现
通过对冒泡排序原理的学习,我们应该能够很容易地写出实现代码了。首先我们需要从后往前遍历待排序数组,然后重复这个步骤,继续遍历剩下的待排序的数列,这样我们就需要一个双重循环去完成这个算法。
public class BubbleSort {
private int[] array;
public BubbleSort(int[] array) {
this.array = array;
}
/**
* 从小到大
*/
public void sort() {
int length = array.length;
if (length > 0) {
for (int i = 1; i < length; i++) {
for (int j = 0; j < length - i; j++) {
if (array[j] > array[j + 1]) {
int temp = array[j];
array[j] = array[j + 1];
array[j + 1] = temp;
}
}
}
}
}
/**
* 从大到小
*/
public void sort2() {
int length = array.length;
if (length > 0) {
for (int i = length - 1; i > 0; i--) {
for (int j = length - 1; j > length - 1 - i ; j--) {
if (array[j] > array[j - 1]) {
int temp = array[j];
array[j] = array[j - 1];
array[j - 1] = temp;
}
}
}
}
}
public void print() {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.println(array[i]);
}
}
}
下面是冒泡排序的测试代码。
public class SortTest {
public static void main(String[] args) {
testBubbleSort();
}
/**
* 冒泡排序
*/
private static void testBubbleSort() {
int[] array = {5, 9, 1, 9, 5, 3, 7, 6, 1};
BubbleSort bubbleSort = new BubbleSort(array);
bubbleSort.sort2();
bubbleSort.print();
}
}
冒泡排序的特点及性能
通过冒泡排序的算法思想,我们发现冒泡排序算法在每轮排序中会使一个元素排到一端,也就是最终需要 n-1 轮这样的排序(n 为待排序的数列的长度),而在每轮排序中都需要对相邻的两个元素进行比较,在最坏的情况下,每次比较之后都需要交换位置,所以这里的时间复杂度是 O(n2)
。其实冒泡排序在最好的情况下,时间复杂度可以达到 O(n)
,这当然是在待排序的数列有序的情况下。在待排序的数列本身就是我们想要的排序结果时,时间复杂度的确是 O(n)
,因为只需要一轮排序并且不用交换。但是实际上这种情况很少,所以冒泡排序的平均时间复杂度是 O(n2)
。
对于空间复杂度来说,冒泡排序用到的额外的存储空间只有一个,那就是用于交换位置的临时变量,其他所有操作都是在原有待排序列上处理的,所以空间复杂度为 O(1)
。
冒泡排序是稳定的,因为在比较过程中,只有后一个元素比前面的元素大时才会对它们交换位置并向上冒出,对于同样大小的元素,是不需要交换位置的,所以对于同样大小的元素来说,相对位置是不会改变的。
冒泡排序算法的时间复杂度其实比较高。从 1956 年开始就有人研究冒泡排序算法,后续也有很多人对这个算法进行改进,但结果都很一般,正如 1974 年的图灵奖获得者所说的:“冒泡排序除了它迷人的名字和引起的某些有趣的理论问题,似乎没有什么值得推荐的。”
冒泡排序的适用场景
对于冒泡排序,我们应该对它的思想进行理解,作为排序算法学习的引导,让我们的思维更加开阔。
虽然冒泡排序在我们的实际工作中并不会用到,其他排序算法多多少少比冒泡排序算法的性能更高,但是我们还是要掌握冒泡排序的思想及实现,并且在面试时还是有可能会用到。
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正负偏差变量 即 d2+、d2- 分别表示决策值中超出和未达到目标值的部分。而 di+、di- 均大于 0 刚性约束和目标约束(柔性目标约束有偏差) 在多目标规划中,>=/<= 在刚性约束中保持不变。当需要将约束条件转换为柔性约束条件时,需要将 >=/<= 更改为 =(因为已经有 d2+、d2- 用来表示正负偏差),并附加上 (+dii-di+) 注意这里是 +di、-di+!之所以是 +di,-di+,是因为需要将目标还原为最接近的原始刚性约束条件 优先级因素和权重因素 对多个目标进行优先排序和优先排序 目标规划的目标函数 是所有偏差变量的加权和。值得注意的是,这个加权和都取最小值。而 di+ 和 dii- 并不一定要出现在每个不同的需求层次中。具体分析需要具体问题具体分析 下面是一个例子: 题目中说设备 B 既要求充分利用,又要求尽可能不加班,那么列出的时间计量表达式即为:min z = P3 (d3- + d3 +) 使用 + 而不是 -d3 + 的原因是:正负偏差不可能同时存在,必须有 di+di=0 (因为判定值不可能同时大于目标值和小于目标值),而前面是 min,所以只要取 + 并让 di+ 和 dii- 都为正值即可。因此,得出以下规则: 最后,给出示例和相应的解法: 问题:某企业生产 A 和 B 两种产品,需要使用 A、B、C 三种设备。下表显示了与工时和设备使用限制有关的产品利润率。问该企业应如何组织生产以实现下列目标? (1) 力争利润目标不低于 1 500 美元; (2) 考虑到市场需求,A、B 两种产品的生产比例应尽量保持在 1:2; (3)设备 A 是贵重设备,严禁超时使用; (4)设备 C 可以适当加班,但要控制;设备 B 要求充分利用,但尽量不加班。 从重要性来看,设备 B 的重要性是设备 C 的三倍。 建立相应的目标规划模型并求解。 解:设企业生产 A、B 两种产品的件数分别为 x1、x2,并建立相应的目标计划模型: 以下为顺序求解法,利用 LINGO 求解: 1 级目标: 模型。 设置。 variable/1..2/:x;! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!所需软约束数量(g=dplus=dminus 数量)及相关参数; s_con(s_con_num);! s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数; 结束集 数据。 g=1500 0 16 15. c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(1);!第一个目标函数;!对应于 min=z 的第一小部分;! 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); !使用设置完成的数据构建软约束表达式; ! !软约束表达式 @for(variable:@gin(x)); !将变量约束为整数; ! 结束 此时,第一级目标的最优值为 0,第一级偏差为 0: 第二级目标: !求 dminus(1)=0,然后求解第二级目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(2)+dplus(2);!第二个目标函数 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标结果 @for(variable:@gin(x)); ! 结束 此时,第二个目标的最优值为 0,偏差为 0: 第三目标 !求 dminus(2)=0,然后求解第三个目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个目标函数。 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标约束条件; ! dminus(2)+dplus(2)=0; !第二个目标约束条件 @for(variable:@gin(x));! 结束 最终结果为 x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为
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