数学规划模型 - 整数规划问题
最编程
2024-04-20 12:33:19
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整数规划
整数规划:
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线性整数规划 - Matlab可进⾏求解 (线性的意思 在线性规划的基础上 , 加⼊决策变量取整数的条件)
-
⾮线性整数规划 → ⽆特定算法, 只能⽤近似算法 , 如蒙特卡罗模拟 、 智能算法 ( 后续会讲到)
特例: 特殊的整数规划 , Matlab中也只能求解线性01规划, 对于⾮线性 0-1规划也只能近似求解 。 (数模⽐赛中常出现)
Matlab整数规划求解
线性整数规划求解
[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0] -> 线性规划的函数
[x ,fval] = intlinprog [ c, intconA, b, Aeq, beq, lb, ub]→ 线性整数规划的求解
注 :
- intlinpng 不能指定初始值 ;
- 加⼊了 inton 参数可以指定哪些决策变量是整数。
例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3,是整数 , 则 intcon= [1 , 3] 。
线性 0-1规划求解
仍然使⽤intlinprog 函数 , 只不过在 lb和ub上作⽂章 。
例如决策变量有三个 : x1,x2,x3 ; 若x1和x3是0-1变量,x2不限制, 则 intcon= [1 , 3] ,lb=[0 -inf 0]',ub=[1,+inf,1]。
小例题
%% 线性整数规划问题
%% 例1
c=[-20,-10]';
intcon=[1,2]; % x1和x2限定为整数
A=[5,4;
2,5];
b=[24;13];
lb=zeros(2,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
fval = -fval
%% 例2
c=[18,23,5]';
intcon=3; % x3限定为整数
A=[107,500,0;
72,121,65;
-107,-500,0;
-72,-121,-65];
b=[50000;2250;-500;-2000];
lb=zeros(3,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
%% 例3
c=[-3;-2;-1]; intcon=3; % x3限定为整数
A=ones(1,3); b=7;
Aeq=[4 2 1]; beq=12;
lb=zeros(3,1); ub=[+inf;+inf;1]; %x(3)为0-1变量
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
整数规划的典型例题
背包问题
%% 背包问题(货车运送货物的问题)
c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; % 目标函数的系数矩阵(最大化问题记得加负号)
intcon=[1:10]; % 整数变量的位置(一共10个决策变量,均为0-1整数变量)
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2]; b = 30; % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量(物品的重量不能超过30)
Aeq = []; beq =[]; % 不存在线性等式约束
lb = zeros(10,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(10,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
fval = -fval
指派问题
%% 指派问题(选择队员去进行游泳接力比赛)
clear;clc
c = [66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4]'; % 目标函数的系数矩阵(先列后行的写法)
intcon = [1:20]; % 整数变量的位置(一共20个决策变量,均为0-1整数变量)
% 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量(每个人只能入选四种泳姿之一,一共五个约束)
A = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
% A = zeros(5,20);
% for i = 1:5
% A(i, (4*i-3): 4*i) = 1;
% end
b = [1;1;1;1;1];
% 线性等式约束的系数矩阵和常数项向量 (每种泳姿有且仅有一人参加,一共四个约束)
Aeq = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
% Aeq = [eye(4),eye(4),eye(4),eye(4),eye(4)]; % 或者写成 repmat(eye(4),1,5)
% Aeq=zeros(4,20);
% for i = 1:4
% for j =1:20
% if mod(j,4)==i
% Aeq(i,j)=1;
% end
% if i==4
% if mod(j,4)==0
% Aeq(i,j)=1;
% end
% end
% end
% end
beq = [1;1;1;1];
lb = zeros(20,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(20,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
% reshape(x,4,5)'
% 0 0 0 1 甲*泳
% 1 0 0 0 乙蝶泳
% 0 1 0 0 丙仰泳
% 0 0 1 0 丁蛙泳
% 0 0 0 0 戊不参加
钢管切割问题
%% 钢管切割问题
%% (1)枚举法找出同一个原材料上所有的切割方法
for i = 0: 2 % 2.9m长的圆钢的数量
for j = 0: 3 % 2.1m长的圆钢的数量
for k = 0:6 % 1m长的圆钢的数量
if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6 & 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9
disp([i, j, k])
end
end
end
end
%% (2) 线性整数规划问题的求解
c = ones(7,1); % 目标函数的系数矩阵
intcon=[1:7]; % 整数变量的位置(一共7个决策变量,均为整数变量)
A = -[1 2 0 0 0 0 1;
0 0 3 2 1 0 1;
4 1 0 2 4 6 1]; % 线性不等式约束的系数矩阵
b = -[100 100 100]'; % 线性不等式约束的常数项向量
lb = zeros(7,1); % 约束变量的范围下限
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
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正负偏差变量 即 d2+、d2- 分别表示决策值中超出和未达到目标值的部分。而 di+、di- 均大于 0 刚性约束和目标约束(柔性目标约束有偏差) 在多目标规划中,>=/<= 在刚性约束中保持不变。当需要将约束条件转换为柔性约束条件时,需要将 >=/<= 更改为 =(因为已经有 d2+、d2- 用来表示正负偏差),并附加上 (+dii-di+) 注意这里是 +di、-di+!之所以是 +di,-di+,是因为需要将目标还原为最接近的原始刚性约束条件 优先级因素和权重因素 对多个目标进行优先排序和优先排序 目标规划的目标函数 是所有偏差变量的加权和。值得注意的是,这个加权和都取最小值。而 di+ 和 dii- 并不一定要出现在每个不同的需求层次中。具体分析需要具体问题具体分析 下面是一个例子: 题目中说设备 B 既要求充分利用,又要求尽可能不加班,那么列出的时间计量表达式即为:min z = P3 (d3- + d3 +) 使用 + 而不是 -d3 + 的原因是:正负偏差不可能同时存在,必须有 di+di=0 (因为判定值不可能同时大于目标值和小于目标值),而前面是 min,所以只要取 + 并让 di+ 和 dii- 都为正值即可。因此,得出以下规则: 最后,给出示例和相应的解法: 问题:某企业生产 A 和 B 两种产品,需要使用 A、B、C 三种设备。下表显示了与工时和设备使用限制有关的产品利润率。问该企业应如何组织生产以实现下列目标? (1) 力争利润目标不低于 1 500 美元; (2) 考虑到市场需求,A、B 两种产品的生产比例应尽量保持在 1:2; (3)设备 A 是贵重设备,严禁超时使用; (4)设备 C 可以适当加班,但要控制;设备 B 要求充分利用,但尽量不加班。 从重要性来看,设备 B 的重要性是设备 C 的三倍。 建立相应的目标规划模型并求解。 解:设企业生产 A、B 两种产品的件数分别为 x1、x2,并建立相应的目标计划模型: 以下为顺序求解法,利用 LINGO 求解: 1 级目标: 模型。 设置。 variable/1..2/:x;! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!所需软约束数量(g=dplus=dminus 数量)及相关参数; s_con(s_con_num);! s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数; 结束集 数据。 g=1500 0 16 15. c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(1);!第一个目标函数;!对应于 min=z 的第一小部分;! 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); !使用设置完成的数据构建软约束表达式; ! !软约束表达式 @for(variable:@gin(x)); !将变量约束为整数; ! 结束 此时,第一级目标的最优值为 0,第一级偏差为 0: 第二级目标: !求 dminus(1)=0,然后求解第二级目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(2)+dplus(2);!第二个目标函数 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标结果 @for(variable:@gin(x)); ! 结束 此时,第二个目标的最优值为 0,偏差为 0: 第三目标 !求 dminus(2)=0,然后求解第三个目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个目标函数。 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标约束条件; ! dminus(2)+dplus(2)=0; !第二个目标约束条件 @for(variable:@gin(x));! 结束 最终结果为 x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为
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