矩阵的运算

最编程 2024-05-22 15:36:22

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矩阵的加法

定义:

设 $A=(a_{ij})、B=(b_{ij})$ 均为 $m\times n$ 矩阵，将它们的对应位置元素相加得到的 $m\times n$ 矩阵，称为矩阵 $A$ 与 $B$ 的和，记为 $A+B$ ，即
$A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}.$
注：只有同型矩阵之间才能进行加法运算.

矩阵加法的运算律:

交换律 $A+B=B+A$
结合律 $(A+B)+C=A+(B+C)$

负矩阵:

设矩阵 $A=(a_{ij})$ ，将 $A$ 的各元素变号得到的矩阵称为 $A$ 的 负矩阵，记作 $-A$ ，即 $-A=(-a_{ij})$ .

矩阵的减法

矩阵的减法为 $A-B=A+(-B)$ ，亦即两个矩阵对应的元素相减

有关加减法的恒等式:

$A-A=A+(-A)=O$

$A+O=O+A=A$

其中 $O$ 为与 $A$ 同型的零矩阵.

数与矩阵相乘

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，数 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的各元素相乘所得到的矩阵，称为数 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积，记为 $\lambda A$ . 数与矩阵相乘简称为数乘，即
$\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn} \end{pmatrix}$
规定 $\lambda A=A\lambda$ .

由定义得： $0A=O$ ， $1A=A$ .

数乘矩阵的运算律：

结合律 $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$
分配律

$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵加法与数乘运算合起来，统称为矩阵的 线性运算

矩阵与矩阵相乘

定义

设矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times s}$ 的列数与矩阵 $B=(b_{ij})_{s\times n}$ 的行数相等，则由元素
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum^s_{k=1}a_{ik}b_{{kj}}\\ (i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$
构成的 $m\times n$ 矩阵 $C=(c_{ij})_{m\times n}$ 称为矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积，记为 $C=AB$

注意：两个矩阵相乘的前提是左矩阵的列数等于右矩阵的行数.

例子

设 $A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ，求 $AB,BA,AC$ .

解
$\begin{flalign}& AB=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\\& \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}1\times1+1\times(-1)&1\times(-1)+1\times1\\-1\times1+(-1)\times(-1)&-1\times(-1)+(-1)\times1\end{pmatrix}\\& \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix};\\& BA=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix};\\& AC=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \end{flalign}$

矩阵乘法的运算律

一般地，称 $AB$ 为 $A$ 左乘 $B$ （或 $B$ 被 $A$ 左乘），称 $BA$ 为 $A$ 右乘 $B$ （或 $B$ 被 $A$ 右乘）.

==矩阵的乘法不满足交换律==，即 $AB\ne BA$ .

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $AB=BA$ ，则称方阵 $A$ 与 $B$ 是 相乘可换 的.

由上面的例子可见，矩阵 $A\ne O,B\ne O$ ，但可能有 $AB=O$ ，即由 $AB=O$ 不能得出 $A=O$ 或 $B=O$ ；依据上述结论，显然若 $A(B-C)=O$ 而 $A\ne O$ ，不能得出 $B=C$ 的结论，即若 $AB=AC$ ，不能推出 $B=C$ ，因此，矩阵乘法==消去律不成立==.

矩阵乘法满足以下运算律：

结合律 $(AB)C=A(BC)$
数乘结合律 $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
左分配律 $A(B+C)=AB+AC$
右分配律 $(B+C)A=BA+CA$

对任意一个实数 $x$ ，有 $1\times x=x\times1=x$ ，一般称 $1$ 是单位元. 这一概念可以推广到矩阵上.

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，由于 $E_mA_{m\times n}=A_{m\times n}=A_{m\times n}E_n$ ，则称 $E_m$ 为矩阵 $A$ 的 左单位元，称 $E_n$ 为矩阵 $A$ 的 右单位元. 如果 $A$ 是一个 $n$ 方阵，则 $E_m=E_n$ ，即左、右单位元相等， $E_n$ 称为矩阵 $A$ 的 单位元.

方阵的幂运算

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k个}$ 称为方阵 $A$ 的 $k(k\in \Z^+)$ 次幂.

方阵幂运算满足的运算律

$A^kA^l=A^lA^k=A^{k+l}$
$(A^k)^l=(A^l)^k=A^{kl}$

若 $A$ 与 $B$ 相乘可换，则

$(AB)^k=A^kB^k(k\in\Z^+)$
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

方阵的多项式

与 $x$ 的代数多项式 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 类似，由方阵幂的定义，可以定义出方阵的多项式。

方阵 $A$ 的多项式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵

$f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0E$

$a_i(i=0,1,\cdots,m,m\in\Z^+)$ 是常数

记为 $f(A),g(A),h(A)$ 等

方阵多项式也有类似的因式分解：

例如，

$f(A)=A^3+A^2-6A=A(A^2+A-6E)=A(A-2E)(A+3E)$

$g(A)=A^5-E=(A-E)(A^4+A^3+A^2+A+E)$

线性方程的矩阵表示

设有 $n$ 个未知数、 $m$ 个方程的线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases}$
系数矩阵
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$
未知数向量
$x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$
常数项向量
$b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}$
增广矩阵
$\overline A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{pmatrix}$
根据矩阵乘法，有
$\begin{flalign} & Ax=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}_{m\times n} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}_{n\times1}\\& \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}\\ \end{pmatrix}_{m\times1}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}_{m\times1} \end{flalign}$
由矩阵相等的定义，线性方程组也可表示为矩阵形式
$Ax=b$
该式称为 矩阵方程，则 $x$ 也称为矩阵方程的 解向量.