材料力学：学习笔记（3）|平面图形的几何性质

第4章 平面图形的几何性质

• 静矩

  • \(S_z=\int_Ay\mathrm dA\)
  • \(S_y=\int_Az\mathrm dA\)

• 形心坐标

  • \(\bar y=\frac{S_z}A\)

  • \(\bar z=\frac{S_y}A\)

• 惯性矩

  • \(I_y=\int_Az^2\mathrm dA\)

  • \(I_z=\int_Ay^2\mathrm dA\)

  • 矩形：\(I_y=\frac{bh^3}{12}\)

    圆形：\(I_y=\frac{\pi R^4}4=\frac{\pi D^4}{64}\)

• 惯性半径

  • \(i_y=\sqrt{\frac{I_y}A}\)

  • \(i_z=\sqrt{\frac{I_z}A}\)

• 极惯性矩

  • \(I_p=\int_A\rho^2\mathrm dA\)

  • \(I_p=I_z+I_y\)

• 惯性积\(I_{yz}=\int_Ayz\mathrm dA\)

• 平行移轴公式

  \[\left\{ \begin{aligned} I_y&=I_{y_C}+a^2A\\ I_z&=I_{z_C}+b^2A\\ I_{yz}&=I{y_Cz_C}+abA \end{aligned} \right. \]

• 转轴公式

  \[\left\{ \begin{aligned} I_{y_1}&=\frac{I_y+I_z}2+\frac{I_y-I_z}2\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha\\ I_{z_1}&=\frac{I_y+I_z}2-\frac{I_y-I_z}2\cos2\alpha+I_{yz}\sin2\alpha\\ I_{y_1z_1}&=\frac{I_y-I_z}2\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha \end{aligned} \right. \]

  • \(\tan2\alpha_0=-\frac{2I_{yz}}{I_y-I_z}\)

    当\(\alpha=\alpha_0\)时，坐标轴\(y_0\)和\(z_0\)称为主惯性轴或简称主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩；通过形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴，相应对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，杆件横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面。

  • 图形有对称轴时，对称轴就是形心主惯性轴。