本福德定律的直观解释
若待查自然数集是均匀分布的，可用 f ( x ) = 1 0 x f(x)=10^x f(x)=10x表示：
- x x x在 [ 0 , 1 ) [0,1) [0,1)区间， f ( x ) f(x) f(x)从1到10.
- x x x在 [ 1 , 2 ) [1,2) [1,2)区间， f ( x ) f(x) f(x)从10到100.
- x x x在 [ 2 , 3 ) [2,3) [2,3)区间， f ( x ) f(x) f(x)从100到1000.
- …
把 x x x轴分成 [ 0 , 1 ) [0,1) [0,1)， [ 1 , 2 ) [1,2) [1,2)， [ 2 , 3 ) [2,3) [2,3)， [ 3 , 4 ) [3,4) [3,4)，…等小区间，可将 f ( x ) f(x) f(x)分为：
- 1位数字。
- 2位数字。
- 3位数字。
- …
其中 x x x为整数时 f ( x ) f(x) f(x)为进位边界，如果为小数则 f x ) fx) fx)为两个进位边界之间的普通数字。
首位数字 n n n起头的数字包括：
- 1位数字 n n n。
- 2位数字 n m 1 nm_1 nm1。
- 3位数字 n m 1 m 2 nm_1m_2 nm1m2。
- …
上述数字的量加起来，就是以 n n n开头的数字总量 。
计算以
n
n
n开头的数字出现的概率
P
(
n
)
P(n)
P(n)，要看
f
(
x
)
=
1
0
x
f(x)=10^x
f(x)=10x中
x
x
x的分布。计算方法如下图所示：
以 [ 2 , 3 ) [2,3) [2,3)这个3位数区间为例，首数为 4 4 4的有400，401…，499， f ( x ) = 1 0 x f(x)=10^x f(x)=10x单调递增，只需求出 400 = 1 0 x 1 400=10^{x_1} 400=10x1， 499 = 1 0 x 2 499=10^{x_2} 499=10x2中的 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2，首数 4 4 4的概率为：
log 10 ( 499 + 1 ) − log 10 400 3 − 2 = log 10 500 − log 10 400 = log 10 5 4 \dfrac{\log_{10}(499+1)-\log_{10}400}{3-2}=\log_{10}500-\log_{10}400=\log_{10}\dfrac{5}{4} 3−2log10(499+1)−log10400=log10500−log10400=log1045
同理，对于所有小区间，首数 n n n的概率分别为：
X 0 , 1 = log 10 ( n + 1 ) − log 10 n 1 − 0 = log 10 n + 1 n X_{0,1} = \dfrac{\log_{10}(n+1)-\log_{10} n}{1-0}=\log_{10}\dfrac{n+1}{n} X0,1=1−0log10(n+1)−log10n=log10nn+1
X 1 , 2 = log 10 10 × ( n + 1 ) − log 10 10 × n 2 − 1 = log 10 n + 1 n X_{1,2} = \dfrac{\log_{10}10\times(n+1)-\log_{10} 10\times n}{2-1}=\log_{10}\dfrac{n+1}{n} X1,2=2−1log1010×(n+1)−log1010×n=log10nn+1
X 2 , 3 = log 10 100 × ( n + 1 ) − log 10 100 × n 3 − 2 = log 10 n + 1 n X_{2,3} = \dfrac{\log_{10}100\times(n+1)-\log_{10} 100\times n}{3-2}=\log_{10}\dfrac{n+1}{n} X2,3=3−2log10100×(n+1)−log10100×n=log10nn+1
…
整体上以数字 n n n开头的概率为：
P ( n ) = T = ∑ 小 区 间 的 概 率 S = ∑ 小 区 间 长 度 P(n)=\dfrac{T=\sum小区间的概率}{S=\sum小区间长度} P(n)=S=∑小区间长度T=∑小区间的概率
所有小区间以
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