欧式空间和希尔伯特空间
最编程
2024-06-17 07:36:19
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欧几里得空间,希尔伯特空间都属于函数空间(函数空间的元素都是由函数组成)。
函数空间的定义得从距离、范数、内积、完备性说起。
1. 距离
距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等。
距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性:
- 元素之间的距离大于等于 \(0\),若距离等于 \(0\) 则为相同元素。即 \(d(X,Y) \ge 0\);\(d(X,Y)=0 \Leftrightarrow X=Y\)
- \(A\) 到 \(B\) 的距离等于 \(B\) 到 \(A\) 的距离。即 \(d(X,Y)=d(Y,X)\)
- 满足三角不等式。即 \(d(X,Y) \le d(X,Z) + d(Y,Z)\)
2. 范数
范数在距离的概念上加了零点限制条件。二维平面中范数可以看做平面中的点到零点的距离。
拥有距离的空间成为度量空间。拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。
总结:元素 \(X\) 的范数 \(||X||\) 看作 \(X\) 到零点的距离。
3. 内积
内积在范数的概念上加了角度限制条件。内积空间一定是赋范空间。
有限维内积空间是欧几里得空间。
4. 完备性
集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。
例如:有理数组成的一个集合 \(\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142...\}\),此集合极限为 \(\sqrt{2}\),而 \(\sqrt{2}\)是无理数,不是有理数,即有理数不具备完备性。
线性完备内积空间称希尔伯特空间(不再局限于有限维,还具有完备性)。
线性完备赋范空间称作巴拿赫空间。
有限维线性内积空间称欧几里得空间。
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