数值分析 - 多项式插值法

多项式插值

这段时间关注了一个数值分析的课程，是华东师范大学潘建瑜老师的课，看了一遍课件，将内容梳理一下，做个笔记。

什么是插值

已知一个函数$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且已知此区间有限个数据点：$$y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),...$$
找到一个函数$p(x)$，使得$p(x)$也经过所有数据点，则$p(x)$为$f(x)$的插值函数。

什么是多项式插值

从插值的定义可以得知，一定有相当多类的函数满足“经过有限数据点”这个条件，其中多项式函数就是一大类，使用多项式函数作为$p(x)$的插值方式叫做多项式插值。若有$n+1$个数据点，插值多项式的最高次幂不得超过$n$。

多项式插值唯一性

满足条件的插值多项式只有一个。
证明：

记插值多项式$$p(x)=c_0+c_{1}x+...+c_n{x}^n$$
记要插值的数据点为$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$
带入可得n个方程：

$$\{\begin{array}{ll}p(x_0)=c_0+c_1{x}_0+...+c_n{x}_0^n=y_0& \\ p(x_1)=c_0+c_1{x}_1+...+c_n{x}_1^n=y_1& \\ ...& \\ p(x_n)=c_0+c_1{x}_n+...+c_n{x}_n^n=y_n& \end{array}$$

要证明多项式插值的唯一性，只需要证明系数$c_0,c_1,...,c_n$的唯一性即可。

将$c_0,c_1,...,c_n$视为未知数，可知系数矩阵的行列式正好是个范德蒙行列式，所以系数矩阵可逆，$c_0,c_1,...,c_n$有唯一解。

一次多项式插值

两个数据点可以进行一次多项式插值，即线性插值。实际上这就是求两点连线的直线方程，使用两点式求直线方程就可以。

$$\begin{array}{rl}p(x)-y_0& =\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)\end{array}$$

化简可得：

p ( x ) = y 0 x 1 − x x 1 − x 0 + y 1 x −