数值分析] 2 - 插值法

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学习视频：《数值分析》| 华科 | 研究生基础课

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一、引言

1.1 插值法引入

许多实际问题都用函数 $y=f(x)$ 来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或计算得到的，并且只是 $[a,b]$ 上一系列点 $x_i$ 的函数值 { f ( x i )   ∣   i = 0 , 1 , . . . , n } \{f(x_i)\ |\ i=0,1,...,n\} {f(xi​) ∣ i=0,1,...,n}，这只是一张函数表。

有的问题虽然也有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也要构造一个函数表，如三角函数表、对数表、立方根表、平方根表等。

然而，为了研究函数的变化规律，往往需要知道不在函数表上的函数值，因此，我们希望根据给定的函数表做一个既可以反映函数 $f(x)$ 的特性，又便于计算的简单函数 $p(x)$，用 $p(x)$ 近似 $f(x)$。插值法就是根据函数表寻找简单函数 $p(x)$ 的方法之一。

寻找简单函数的问题又被称为函数逼近问题，下面给出了一个函数逼近问题的示例：

那么，什么样的函数是简单函数呢？

通常，我们用代数多项式或分段代数多项式作为简单函数 $p(x)$，并使得 $p(x_i)=f(x_i)$ 对所有的 $x_i,i=0,1,...,n$ 成立。

1.2 常用插值法

• 多项式插值：$p(x)$ 为多项式函数（最常用）
• 分段插值：$p(x)$ 为分段多项式函数
• 三角插值：$p(x)$ 为三角函数

1.3 插值法定义

二、插值法研究的问题

• 满足插值条件的 $p(x)$ 是否存在且唯一？
• 如满足插值条件的 $p(x)$ 存在，如何构造 $p(x)$？
• 如何估计用 $p(x)$ 近似替代 $f(x)$ 产生的误差？

2.1 插值多项式存在的唯一性

因此，通过上述的证明，可以得到如下定理：

2.2 如何构造n次多项式

2.2.1 待定系数法

下面还有一种更加简洁的解法：

2.2.2 拉格朗日插值法

2.2.2.1 拉格朗日多项式

前面介绍的待定系数法中，使用的基函数是 $1,x,x^2,...,x^n$，这样的基函数过于简单，导致求解系数时较为麻烦。因此，有了下面将要介绍的拉格朗日插值法，它使用了更为复杂的拉格朗日基函数。

考虑 $n=1$ 的特殊情况：

由上可知：

$$\begin{gathered} l_0(x_0)=1,l_0(x_1)=0, \\ {l}_1(x_0)=0,l_1(x_1)=1. \end{gathered}$$

可以给出如下的克罗内克Delta函数：

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$$

且满足条件 $l_i(x_j)={\delta }_{ij}$

更一般地，下面我们进一步讨论 $n\ge 1$ 的情况：

从拉格朗日基函数公式我们可以看出，它仅仅与节点 $x$ 有关，而与真实的函数形式 $f(x)$ 无关，这意味着给定不同的函数和相同的插值节点，求出来的拉格朗日基函数是一样的。

另外，容易得到 ${\sum }_i{l}_i(x)=1$（特别地，$f(x)=1$）

2.2.2.2 拉格朗日插值余项

假设节点 $x_i\in [a,b],i=0,1,...,n$，且 $f(x)$ 满足条件 $f(x)\in C^n[a,b]$，$f^{(n+1)}(x)$ 在 $[a,b]$ 内存在，考虑截断误差 $R_n(x)=L_n(x)-f(x)$

由插值条件可知，$R_n(x)$ 至少存在 $n+1$ 个零点（因为在每个插值点处，$R_n$ 必然为零），因此，可以将 $R_n(x)$ 表示为：

$$R_n(x)=K(x)\prod _{i=0}^n(x-x_i$$