(2) 分段多项式插值法

1.概念

    在上一篇笔记中我们介绍了利用这个插值点去插值次多项式，但是实际上，这样做会有一个问题。那就是并不是的次数越高，插值就越准确。当插值节点是区间上均匀分布的节点时，我们会发现当的次数越来越高时，在某些点处会出现震荡的现象，误差严重，这称为龙格现象。这说明，次数的升高并不一定是好的，这就诱导我们去分段地处理插值节点，即分成很多个小区间，在每个小区间上做低次数的插值，当区间划分的足够密时，这样做的精度也是能够保证的，这就叫分段的多项式插值。

    总的来说，分段多项式插值有两种情况，一种情况是插值节点就是分段区间的端点，每个区间的插值多项式顺次相连，如下图：

    这样顺次连接的方式的优点在于最后得到的多项式是连续的，但是有一个致命的问题是，当我待插值的函数是间断的，那么这种顺次连接的方式会在间断的地方产生很大的误差。这就引出了另一种插值方式。

    那就是插值节点位于分段区间的内部，我们不妨直接设为区间的中点

    注意这里的只是表示区间端点的一种方法，才是插值节点。很明显，这样插值出来的多项式并不连续，因为只是每个区间单独插值，并不连接，但是这种方式能够很好的处理间断点处误差，并且我们说明，这两种插值方式在精度上来说相同。

2.分段插值的误差

    设是函数上选取的插值节点，是分段插值的区间长度，是分段线性插值多项式，那么误差应该为：

    这个误差实际上还是由误差公式推导而来，可以看出，当足够小，也就是分段的区间足够多的时候，即使次数不高，误差也能被很好的控制住。

总结：这一篇笔记介绍了分段多项式插值的两种方式，其中顺次连接的方式十分简单，我们暂且不提，下一篇会主要说一下第二种分段插值的方法。