数学学习笔记 - 线性代数

开始复习 AI 算法的基础–数学部分，主要是三方面的内容：

1. 线性代数
2. 概率论
3. 微积分

参考内容如下：

• 《深度学习》
• https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions
• https://github.com/sladesha/Reflection_Summary

本文是第一篇，线性代数部分的内容，主要是比较基础部分的学习笔记。

1. 线性代数

1.1 向量和矩阵

1.1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系

标量（scalar）

一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。 一般会明确标量属于哪种类型，比如定义实数标量时，会说“令 s ∈ R s\in R s∈R 表示一条线的斜率”。

向量（vector）

一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如xx。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量 X X X的第一个元素是 X 1 X_1 X1​，第二个元素是 X 2 X_2 X2​，以此类推。我们也会注明存储在向量中的元素的类型（实数、虚数等）。

一个向量如下所示，一个向量可以看作空间中的点，即每个元素可以表示不同坐标轴上的坐标。
x = [ x 1 x 2 x 3 ⋯ x n ] x = \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \end{matrix} \right] x=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​x1​x2​x3​⋯xn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

矩阵（matrix）

矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如 A A A。

一个矩阵的表示例子如下所示：
A = [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2 ] A = \left[ \begin{matrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \\ \end{matrix} \right] A=[A1,1​A2,1​​A1,2​A2,2​​]

转置是矩阵的重要操作之一，其转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线，定义如下:
( A T ) i , j = A j , i (A^T){i,j} = A_{j,i} (AT)i,j=Aj,i​
一个示例操作如下：
A = [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2 A 3 , 1 A 3 , 2 ] = = > A T = [ A 1 , 1 A 2 , 1 A 3 , 1 A 1 , 2 A 2 , 2 A 3 , 2 ] A = \left[ \begin{matrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \\ A_{3,1} & A_{3,2} \end{matrix} \right] ==> A^T = \left[ \begin{matrix} A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3, 1} \\ A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2}\\ \end{matrix} \right] A=⎣⎡​A1,1​A2,1​A3,1​​A1,2​A2,2​A3,2​​⎦⎤​==>AT=[A1,1​A1,2​​A2,1​A2,2​​A3,1​A3,2​​]

从一个 3 × 2 3\times 2 3×2 的矩阵变为了 $ 2\times 3$ 的矩阵。

张量（tensor）

在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 A A A 来表示张量“A”。张量 A A A中坐标为 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k)的元素记作 A ( i , j , k ) A_{(i,j,k)} A(i,j,k)​。

四者之间关系

（来自深度学习 500 问第一章数学基础）

标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例：
​标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。
​向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。
​张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少。

1.1.2 张量与矩阵的区别

• 从代数角度讲， 矩阵它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么 n n n阶张量就是所谓的 n n n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述。
• 从几何角度讲， 矩阵是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。
• 张量可以用3×3矩阵形式来表达。
• 表示标量的数和表示向量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

1.1.3 矩阵和向量相乘结果

若使用爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），矩阵 A A A, B B B相乘得到矩阵 C C C 可以用下式表示：
A B = C = = > a i k ∗ b k j = c i j AB = C ==> a_{ik}*b_{kj}=c_{ij} AB=C==>aik​∗bkj​=cij​

其中， a i k a_{ik} aik​, b k j b_{kj} bkj​, c i j c_{ij} cij​分别表示矩阵 A , B , C A, B, C A,B,C的元素， k k k出现两次，是一个哑变量（Dummy Variables）表示对该参数进行遍历求和。

用一个例子表示就是：
$$
A=
\left[
\begin{matrix}
A_{1,1} & A_{1,2} \
A_{2,1} & A_{2,2} \
\end{matrix}
\right]
B =
\left[
\begin{matrix}
B_{1,1} & B_{1,2} \
B_{2,1} & B_{2,2} \
\end{matrix}
\right] \
A \times B = C =
\left[
\begin{matrix}
A_{1,1}\times B_{1,1}+A_{1,2}\times B_{2,1} & A_{1,1}\times B_{1,2}+A_{1,2}\times B_{2,2} \
A_{2,1}\times B_{1,1}+A_{2,2}\times B_{2,1} & A_{2,1}\times B_{1,2}+A_{2,2}\times B_{2,2} \
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
C_{1,1} & C_{1,2} \
C_{2,1} & C_{2,2} \
\end{matrix}
\right]
$$
所以矩阵相乘有一个前提，矩阵 A 的列数必须和矩阵 B 的行数相等，也就是如果 A 的维度是 m × n m\times n m×n，B 的维度必须是 n × p n \times p n×p，相乘得到的 C 矩阵的维度就是 m × p m\times p m×p。

另外还有一种矩阵乘法，是矩阵对应元素相乘，这种称为元素对应乘积，或者 Hadamard 乘积，记为 A ⊙ B

而矩阵和向量相乘可以看成是矩阵相乘的一个特殊情况，例如：矩阵 B B B是一个 n × 1 n \times 1 n×1的矩阵。

矩阵乘积满足这些定律：

1. 服从分配率：A(B+C) = AB + AC
2. 服从结合律：A(BC) = (AB)C

但是不服从交换律，即 AB 不一定等于 BA。

矩阵的乘积满足： （ A B ) T = A T B T （AB)^T = A^TB^T （AB)T=ATBT

两个相同维度的向量 x 和 y 的点积(dot product)，可以看作矩阵乘积– x T y x^Ty xTy。也就是说可以将矩阵乘积 C = A B C=AB C=AB 中计算 C i , j C_{i,j} Ci,j​的步骤看作是 A 的第 i 行和 B 的第 j 列之间的点积。毕竟，矩阵的每一行或者每一列都是一个向量。

而向量的点积是满足交换律的：
x T y = y T x x^Ty = y^Tx xTy=yTx
证明主要是根据：

1. 两个向量的点积是标量
2. 标量的转置也是自身

所以有：
x T y = ( x T y ) T = x y T x^Ty = (x^Ty)^T = xy^T xTy=(xTy)T=xyT

1.1.4 单位矩阵和逆矩阵

单位矩阵的定义如下，用 I 表示单位矩阵，任何向量和单位矩阵相乘，都不会改变，即：
∀ x ∈ R n , I n x = x (1-1-8) \forall x \in R^n, I_n x = x \tag{1-1-8} ∀x∈Rn,In​x=x(1-1-8)
单位矩阵的结构很简单，就是主对角线是 1，其他位置是 0，如下图所示的单位矩阵 I 3 I_3 I3​ ：
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] ⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​
而逆矩阵记作 A − 1 A^{-1} A−1，其满足如下条件：
A − 1 A = I n A^{-1}A=I_n A−1A=In​

1.1.5 线性方程组和线性相关

现在有一个线性方程组，如下所示：
A x = b Ax = b Ax=b
其中， A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} A∈Rm×n 是已知的矩阵， b ∈ R m b\in R^m b∈Rm 是已知的向量，然后 x ∈ R n x\in R^n x∈Rn 是需要求解的未知向量。

这里根据矩阵相乘（x 相当于一个 n × 1 n\times 1 n×1 的矩阵），可以将上述公式拓展开来：
A 1 , : x = b 1 = = > A 1 , 1 x 1 + A 1 , 2 x 2 + ⋯ + A 1 , n x n = b 1 A 2 , : x = b 2 = = > A 2 , 1 x 1 + A 2 , 2 x 2 + ⋯ + A 2 , n x n = b 2 ⋯ A m , : x = b m = = > A m , 1 x 1 + A m , 2 x 2 + ⋯ + A m , n x n = b m A_{1,:}x = b_1 ==> A_{1,1}x_1 + A_{1,2}x_2+\cdots+A_{1,n}x_n = b_1 \\ A_{2,:}x = b_2 ==> A_{2,1}x_1 + A_{2,2}x_2+\cdots+A_{2,n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ A_{m,:}x = b_m ==> A_{m,1}x_1 + A_{m,2}x_2+\cdots+A_{m,n}x_n = b_m \\ A1,:​x=b1​==>A1,1​x1​+A1,2​x2​+⋯+A1,n​xn​=b1​A2,:​x=b2​==>A2,1​x1​+A2,2​x2​+⋯+A2,n​xn​=b2​⋯Am,:​x=bm​==>Am,1​x1​+Am,2​x2​+⋯+Am,n​xn​=bm​
在我们定义了逆矩阵后，那么可以这么求解：
A x = b A − 1 A x = A − 1 b I n x = A − 1 b x = A − 1 b Ax=b\\ A^{-1}Ax = A^{-1}b\\ I_nx = A^{-1}b \\ x = A^{-1}b Ax=bA−1Ax=A−1bIn​x=A−1bx=A−1b
所以求解的关键就是是否存在一个逆矩阵，并找到它。

当逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1存在的时候，对每个向量 b 肯定恰好存在一个解。

但对于方程组来说，向量 b 的某些值，有可能不存在解，或者有无限多个解，不存在多于1 个解，但有限解的情况，比如 x 和 y 都是方程组的解，则有：
z = α x + ( 1 − α ) y z = \alpha x + (1-\alpha)y z=αx+(1−α)y
其中， α \alpha α 是任意实数，那么 z 也是方程组的解，这种组合是无限的，所以不存在有限解（多于 1 个）。

确定 Ax=b 是否有解，关键是确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中，这个特殊的生成子空间，被称为 A 的列空间或者 A 的值域。

一组向量的线性组合是指每个向量乘以对应标量系数之后的和，即 ∑ i c i v ( i ) \sum_i c_i v^{(i)} ∑i​ci​v(i)

一组向量的生成子空间是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。

那么为了让上述成立，应该让 A 的列空间构成整个 R m R^m Rm 空间，如果这个空间某个点不在 A 的列空间，那么对应的 b 会使得方程无解。而要让其成立，**即要满足不等式 n ≥ m n\ge m n≥m **。

但该不等式只是方程对每个 b 有解的必要条件，非充分条件。因为存在一种情况，某些列向量可能是冗余的，比如一个 2 × 2 2\times 2 2×2的矩阵，如果两个列向量都是相同的，那该矩阵的列空间和它的一个列向量作为矩阵的列空间是一样的，并不能满足覆盖了整个 R 2 R^2 R2 空间。

这种冗余也被称为线性相关，而如果一组向量中任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，则这组向量称为线性无关。

所以，如果一个矩阵的列空间要覆盖整个 R m R^m Rm，那么该矩阵必须包含至少一组m 个线性无关的向量，这才是对每个 b 都有解的充分必要条件。

此外，要让矩阵可逆，还必须保证 Ax=b 对每个 b 的取值至多只有一个解，那必须保证该矩阵至多有 m 个列向量，否则方程有不止一个解。

综上，那么矩阵就必须是方阵，也就是 m = n，并且所有列向量都是线性无关的。一个列向量都是线性无关的方阵被称为是奇异的。

假如 A 不是方阵或者不是奇异的方阵，也可能有解，但是不能通过逆矩阵去求解。

1.1.6 向量和矩阵的范数归纳

向量的范数(norm)

通常衡量向量的大小是通过范数来衡量的，形式上 L P L^P LP范数定义如下：

L p = ∥ x ⃗ ∥ p = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p p L_p=\Vert\vec{x}\Vert_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{N}|{x_i}|^p} Lp​=∥x ∥p​=pi=1∑N​∣xi​∣p ​

这里 p ≥ 1 p\ge 1 p≥1。

范数是将向量映射到非负数的函数，直观上来说，向量 x 的范数衡量从原点到点 x 的距离。

范数是满足下列性质的任意函数：
f ( x ) = 0 = > x = 0 f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) ( 三 角 不 等 式 ) ∀ α ∈ R , f ( α x ) = ∣ α ∣ f ( x ) f(x)=0=>x=0 \\ f(x+y)\le f(x)+f(y)(三角不等式)\\ \forall \alpha \in R, f(\alpha x) = |\alpha|f(x) f(x)=0=>x=0f(x+y)≤f(x)+f(y)(三角不等式)∀α∈R,f(αx)=∣α∣f(x)

定义一个向量为： a ⃗ = [ − 5 , 6 , 8 , − 10 ] \vec{a}=[-5, 6, 8, -10] a =[−5,6,8,−10]。任意一组向量设为 x ⃗ = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) \vec{x}=(x_1,x_2,...,x_N) x =(x1​,x2​,...,xN​)。其不同范数求解如下：

• 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量 a ⃗ \vec{a} a 的1范数结果就是：x = |-5|+|6|+|8|+|-10| = 29。

∥ x ⃗ ∥ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ \Vert\vec{x}\Vert_1=\sum_{i=1}^N\vert{x_i}\vert ∥x ∥1​=i=1∑N​∣xi​∣

• 向量的2范数（欧几里得范数）：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述 a ⃗ \vec{a} a 的2范数结果就是： x = ( − 5 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 + ( − 10 ) 2 15 x=\sqrt{(-5)^2+(6)^2+(8)^2+(-10)^2}15 x=(−5)2+(6)2+(8)2+(−10)2 ​15。

∥ x ⃗ ∥ 2 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ 2 \Vert\vec{x}\Vert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^N{\vert{x_i}\vert}^2} ∥x ∥2​=i=1∑N​∣xi​∣2 ​

• 向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量 a ⃗ \vec{a} a 的负无穷范数结果就是：5。

∥ x ⃗ ∥ − ∞ = min ⁡ ∣ x i ∣ \Vert\vec{x}\Vert_{-\infty}=\min{|{x_i}|} ∥x ∥−∞​=min∣xi​∣

• 向量的正无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量 a ⃗ \vec{a} a 的正无穷范数结果就是：10。

∥ x ⃗ ∥ + ∞ = max ⁡ ∣ x i ∣ \Vert\vec{x}\Vert_{+\infty}=\max{|{x_i}|} ∥x ∥+∞​=max∣xi​∣

矩阵的范数

定义一个矩阵。
A = [ − 1 2 − 3 4 − 6 6 ] A = \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & -3 \\ 4 & -6 & 6 \\ \end{matrix} \right] A=[−14​2−6​−36​]

任意矩阵定义为： A m × n A_{m\times n} Am×n​，其元素为 a i j a_{ij} aij​。

矩阵的范数定义为

∥ A ∥ p : = sup ⁡ x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert{A}\Vert_p :=\sup_{x\neq 0}\frac{\Vert{Ax}\Vert_p}{\Vert{x}\Vert_p} ∥A∥p​:=x​=0sup​∥x∥p​∥Ax∥p​​

当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。

• 矩阵的1范数（列范数）：先对矩阵的每一列元素的绝对值求和，再从中取个最大的（列和最大），上述矩阵 A A A的1范数先得到 [ 5 , 8 , 9 ] [5,8,9] [5,8,9]，再取最大的最终结果就是：9。
  ∥ A ∥ 1 = max ⁡ 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^m|{a_{ij}}| ∥A∥1​=1≤j≤nmax​i=1∑m​∣aij​∣

• 矩阵的2范数：矩阵 A T A A^TA ATA的最大特征值开平方根，上述矩阵 A A A的2范数得到的最终结果是：10.0623。

∥ A ∥ 2 = λ m a x ( A T A ) \Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^T A)} ∥A∥2​=λmax​(ATA) ​

其中， λ m a x ( A T A ) \lambda_{max}(A^T A) λmax​(ATA) 为 A T A A^T A ATA 的特征值绝对值的最大值。

• 矩阵的无穷范数（行范数）：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵 A A A的行范数先得到 [ 6 ； 16 ] [6；16] [6；16]，再取最大的最终结果就是：16。
  ∥ A ∥ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i \le m}\sum_{j=1}^n |{a_{ij}}| ∥A∥∞​=1≤i≤mmax​j=1∑n​∣aij​∣

• 矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287。

• 矩阵的L0范数：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵 A A A最终结果就是：6。

• 矩阵的L1范数：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵 A A A最终结果就是：22。

• 矩阵的F范数：最常用的矩阵的范数，矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在于它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995。
  ∥ A ∥ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) \Vert A\Vert_F=\sqrt{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)} ∥A∥F​=(i=1∑m​j=1∑n​∣aij​∣2) ​

• 矩阵的L21范数：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵 A A A最终结果就是：17.1559。

• 矩阵的 p范数

∥ A ∥ p = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ p ) p \Vert A\Vert_p=\sqrt[p]{(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)} ∥A∥p​=p(i=1∑m​j=1∑n​∣aij​∣p) ​

两个向量的点积可以用范数来表示：
x T y = ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 c o s θ x^Ty =\Vert x \Vert_2 \Vert y \Vert_2 cos\theta xTy=∥x∥2​∥y∥2​cosθ
这里 θ \theta θ 就是 x 和 y 之间的夹角。

1.1.7 一些特殊的矩阵和向量

对角矩阵：只在对角线上有非零元素，其他位置都是零。之前介绍的单位矩阵就是对角矩阵的一种；

对称矩阵：转置和自己相等的矩阵，即： A = A T A = A^T A=AT。

单位向量：具有单位范数的向量，也就是 ∥ x ∥ 2 = 1 \Vert x \Vert_2 =1 ∥x∥2​=1

向量正交：如果 x T y = 0 x^Ty=0 xTy=0，那么就说向量 x 和 y 互相正交。如果向量不仅互相正交，范数还是 1，那么就称为标准正交。

正交矩阵：行向量和列向量是分别标准正交的方阵，即
A T A = A A T = I A^TA=AA^T=I ATA=AAT=I
也就是有：
A − 1 = A T A^{-1}=A^T A−1=AT
所以正交矩阵的一个优点就是求逆计算代价小。

1.1.8 如何判断一个矩阵为正定

判定一个矩阵是否为正定，通常有以下几个方面：

• 顺序主子式全大于0；
• 存在可逆矩阵 C C C使 C T C C^TC CTC等于该矩阵；
• 正惯性指数等于 n n n；
• 合同于单位矩阵 E E E（即：规范形为 E E E）
• 标准形中主对角元素全为正；
• 特征值全为正；
• 是某基的度量矩阵。

所有特征值是非负数的矩阵称为半正定，而所有特征值是负数的矩阵称为负定，所有特征值是非正数的矩阵称为半负定。

正定性的用途

• Hessian矩阵正定性在梯度下降的应用
  • 若Hessian正定,则函数的二阶偏导恒大于0，,函数的变化率处于递增状态，判断是否有局部最优解
• 在 svm 中核函数构造的基本假设

1.2 特征值和特征向量

1.2.1 特征值分解与特征向量

特征分解是使用最广的矩阵分解之一，矩阵分解可以得到一组特征值(eigenvalues)与特征向量(eigenvectors)；

特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。

如果说一个向量 v ⃗ \vec{v} v 是方阵 A A A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

A ν = λ ν A\nu = \lambda \nu Aν=λν

λ \lambda λ为特征向量 v ⃗ \vec{v} v 对应的特征值。

特征值分解是将一个矩阵分解为如下形式：

A = Q ∑ Q − 1 A=Q\sum Q^{-1} A=Q∑Q−1

其中， Q Q Q是这个矩阵 A A A的特征向量组成的正交矩阵， ∑ \sum ∑是一个对角矩阵，每一个对角线元素就是一个特征值，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）。也就是说矩阵 A A A的信息可以由其特征值和特征向量表示。

并非每个矩阵都可以分解成特征值和特征向量，但每个实对称矩阵都可以分解为实特征向量和实特征值。

1.2.2 奇异值分解

除了特征分解外，还有一种矩阵分解，称为奇异值分解（SVD)，将矩阵分解为奇异值和奇异向量。通过奇异值分解，可以得到和特征分解相同类型的信息，但是，奇异值分解有更广泛的应用，每个实数矩阵都有一个奇异值分解，但不一定有特征分解，因为必须是方阵才有特征分解。

在特征分解中，我们将 A 重新写作：
A = V d i a g ( λ ) V − 1 A = Vdiag(\lambda)V^{-1} A=Vdiag(λ)V−1
其中，V 是特征向量构成的矩阵， λ \lambda λ是特征值构成的向量， d i a g ( λ ) diag(\lambda) diag(λ)表示一个对角线都是特征值的对角矩阵。

奇异值分解的形式如下所示：
A = U D V T A = U D V^T A=UDVT
假如 A 是 m × n m\times n m×n 的矩阵，则 U 是 m × m m\times m m×m的矩阵，D 是 m × n m\times n m×n 的矩阵，V 是 n × n n\times n n×n 的矩阵。并且，矩阵 U 和 V 是正交矩阵，D 是对角矩阵，且不一定是方阵。

D 对角线上的元素就是 A 的奇异值，而 U 的列向量是左奇异向量，V 的列向量是右奇异向量。

可以套用和 A 相关的特征分解来解释其奇异值分解，A 的左奇异向量就是 A A T AA^T AAT的特征向量，而右奇异向量就是 A T A A^TA ATA 的特征向量，A 的非零奇异值是 A A T AA^T AAT特征值的平方根，也是 A T A A^TA ATA特征值的平方根。

(来自深度学习 500 问的数学基础的内容)

那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？我们将一个矩阵 A A A的转置乘以 A A A，并对 A T A A^TA ATA求特征值，则有下面的形式：

( A T A ) V = λ V (A^TA)V = \lambda V (ATA)V=λV

这里 V V V就是上面的右奇异向量，另外还有：

σ i = λ i , u i = 1 σ i A V \sigma_i = \sqrt{\lambda_i}, u_i=\frac{1}{\sigma_i}AV σi​=λi​ ​,ui​=σi​1​AV

这里的 σ \sigma σ就是奇异值， u u u就是上面说的左奇异向量。

奇异值 σ \sigma σ跟特征值类似，在矩阵 ∑ \sum ∑中也是从大到小排列，而且 σ \sigma σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前 r r r（ r r r远小于 m 、 n m、n m、n）个的奇异值来近似描述矩阵，即部分奇异值分解：
A m × n ≈ U m × r ∑ r × r V r × n T A_{m\times n}\approx U_{m \times r}\sum_{r\times r}V_{r \times n}^T Am×n​≈Um×r​r×r∑​Vr×nT​

右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于 A A A的矩阵，在这儿， r r r越接近于 n n n，则相乘的结果越接近于 A A A。

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