集合论］公差原理（排除原理的包含 | 例题） - II.容斥原理示例

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$1$ ~ $10000$ 之间 , 既不是某个整数的平方 , 又不是某个整数的立方 , 的数个数 ?

全集 : $E$ 集合是全集 , 是 $1$ 到 $10000$ 的自然数 , $E$ 集合的个数 $|E|=10000$

平方对应的数集合 $A$ : $A$ 集合是 某个数 的平方 对应的 某个数 集合 , A = { x ∈ E ∣ x = k 2 ∧ k ∈ Z } A = \{ x \in E | x = k^2 \land k \in Z \} A={x∈E∣x=k2∧k∈Z} , $A$ 集合元素个数是 $|100|$ ;

$100^2=10000$ , 因此 $A$ 集合的元素是 { 0 , 1 , 2 , ⋯   , 100 } \{0, 1, 2 , \cdots , 100 \} {0,1,2,⋯,100} , 元素个数有 $100$ 个 ; $1^2,2^2,3^3,\cdots ,100^2$ 都在 $1$ 到 $10000$ 之间 , $101^2=10201$ 就超过 $10000$ 了 ;

立方对应的数集合 $B$ : $B$ 集合是 某个数 的立方 对应的 某个数 集合 , B = { x ∈ E ∣ x = k 3 ∧ k ∈ Z } B = \{ x \in E | x = k^3 \land k \in Z \} B={x∈E∣x=k3∧k∈Z} , $A$ 集合元素个数是 $|21|$ ;

$21^3=9261$ , 因此 $B$ 集合的元素是 { 0 , 1 , 2 , ⋯   , 21 } \{0, 1, 2 , \cdots , 21 \} {0,1,2,⋯,21} , 元素个数有 $21$ 个 ; $1^3,2^3,3^3,\cdots ,21^3$ 都在 $1$ 到 $10000$ 之间 , $22^2=10648$ 就超过 $10000$ 了 ;

计算 $A\cap B$ 集合的交集 $C$ : 元素个数 , 既是平方 , 又是立方 , 肯定是六次方的数 , C = { x ∈ E ∣ x = k 6 ∧ k ∈ Z } C= \{ x \in E | x = k^6 \land k \in Z \} C={x∈E∣x=k6∧k∈Z} , $C$ 集合的元素个数是 $4$ ;

$4^6=4096$ , 因此 $C$ 集合的元素是 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1, 2 , 3, 4\} {1,2,3,4} , 元素个数有 $4$ 个 ; $1^6,2^6,3^6,4^6$ 都在 $1$ 到 $10000$ 之间 , $5^6=15,625$ 就超过 $10000$ 了 ;

题目可以转化成 : 集合 $Z$ 中 , 既不属于 $A$ 集合 , 有不属于 $B$ 集合 的数字 ;

集合 $A$ 与 集合 $B$ 并集是 $A\cup B$

上述并集 的 绝对补集 $\sim (A\cup B)$ 元素个数 $|\sim (A\cup B)|$ , 就是题目中要求的结果 ;

$|\sim (A\cup B)|=|E|-|A\cup B|$

上述式子中 , $|E|=10000$ , $|A\cup B|$ 值可以使用 容斥原理 进行计算 ;

$|A\cup B|$ 两个集合并集的元素个数 , 可以使用两个集合的元素个数相加 , 然后减去两个集合交集的元素个数 ;

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cup B|=100+21-4=117$

代入总的公式 : $|\sim (A\cup B)|=|E|-|A\cup B|=10000-117=9883$