数字信号处理] 序列傅里叶变换（基本序列的傅里叶变换 | cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数的欧拉公式）

文章目录

• 一、求 cosωn 傅里叶变换
• ​
  • 0、cosωn 序列分析
  • 1、傅里叶变换与反变换公式介绍
  • 2、复变函数欧拉公式介绍
  • 3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程

一、求 cosωn 傅里叶变换

---

求

\cos\omega_0n

的傅里叶变换

SFT[\cos\omega_0n]

?

0、cosωn 序列分析

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\cos\omega_0n| = \infty

\cos\omega_0n

序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为

\infty

, 但是其有傅里叶变换 ;

绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :

• 如果 "

x(n)

序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;

• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "

x(n)

序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数

\delta(\omega)

后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

2、复变函数欧拉公式介绍

复变函数 欧拉公式 :

e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ①

e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ②

单位复指数序列特点 :

e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdots

对

\omega

来说 一定是以

2\pi

为周期 ;

① 与 ② 相加 , 可以得到 :

\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③

① 与 ② 相减 , 可以得到 :

\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④

可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066

3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程

直接 对

cos \omega_0 n

使用

\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③

公式 ,

可以得到 :

\cos \omega_0 n = \cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2} \ \ \ \ ⑤

求上述

\cfrac{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2}

序列的傅里叶变换 ,

在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了

e^{i\omega_0 n}

的傅里叶变换 , 结果是 :

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )

将

j

替换成

i

可以得到 :

SFT[e^{i \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) \ \ \ \ ⑥

将

\omega_0

替换成

-\omega_0

可以得到 :

SFT[e^{i ( -\omega_0 ) n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega + \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) \ \ \ \ ⑦

将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :

SFT[\cos \omega_0 n] = \cfrac{2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{2}

最终得到 :

SFT[\cos \omega_0 n] = \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )

将

\pi

提取出来 , 得到 :

SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) )

SFT[\cos \omega_0 n]

如下图所示 :