理解特征值与特征向量的重要性

最编程 2024-08-10 14:50:40

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1 基本定义

设 A 为 n 阶方阵，若存在数 λ 和非零向量 x，使得：

则称 λ 是 A 的一个特征值，x 为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。

先有一个直观的印象：可以把矩阵看做是运动，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

注意，由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实不同的应用中有不同的指代。

因为线性变换总是在各种基之间变来变去，所以下面都会把作图所用的基和原点给画出来。

在 $\vec{i_{}},\vec{j_{}}$ 下面有个 $\vec{v_{}}$ ：

随便左乘一个矩阵 A，图像看上去没有什么特殊的：

调整下 $\vec{v_{}}$ 的方向，图像看上去有点特殊了：

可以观察到，调整后的 $\vec{v_{}}$ 和 $A\vec{v_{}}$ 在同一根直线上，只是 $A\vec{v_{}}$ 的长度相对 $\vec{v_{}}$ 的长度变长了。

此时，我们就称 $\vec{v_{}}$ 是 $A$ 的特征向量，而 $A\vec{v_{}}$ 的长度是 $\vec{v_{}}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

从而，特征值与特征向量的定义式就是这样的：

其实之前的 A 不止一个特征向量，还有一个特征向量：

容易从 $A\vec{v_{}}$ 相对于 $\vec{v_{}}$ 是变长了还是缩短看出，这两个特征向量对应的特征 $\lambda$ 值，一个大于1，一个小于1。

从特征向量和特征值的定义式还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量：

可以尝试改变