交叉熵损失函数深度解析
交叉熵损失函数原理详解
之前在代码中经常看见交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss)，只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数，对于其内部的原理总是模模糊糊，而且一般使用交叉熵作为损失函数时，在模型的输出层总会接一个softmax函数，至于为什么要怎么做也是不懂，所以专门花了一些时间打算从原理入手，搞懂它，故在此写一篇博客进行总结，以便以后翻阅。
交叉熵简介
交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，要理解交叉熵，需要先了解下面几个概念。
信息量
信息奠基人香农（Shannon）认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”，也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。
“太阳从东边升起”，这条信息并没有减少不确定性，因为太阳肯定是从东边升起的，这是一句废话，信息量为0。
”2018年中国队成功进入世界杯“，从直觉上来看，这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大，而这句话消除了进入世界杯的不确定性，所以按照定义，这句话的信息量很大。
根据上述可总结如下：信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。
设某一事件发生的概率为P(x)，其信息量表示为：
I
(
x
)
=
−
log
(
P
(
x
)
)
I\left ( x \right ) = -\log\left ( P\left ( x \right ) \right )
I(x)=−log(P(x))
其中
I
(
x
)
I\left ( x \right )
I(x)表示信息量，这里
log
\log
log表示以e为底的自然对数。
信息熵
信息熵也被称为熵，用来表示所有信息量的期望。
期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
所以信息量的熵可表示为：（这里的
X
X
X是一个离散型随机变量）
H
(
X
)
=
−
∑
i
=
1
n
P
(
x
i
)
log
(
P
(
x
i
)
)
)
(
X
=
x
1
,
x
2
,
x
3
.
.
.
,
x
n
)
H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\sum \limits_{i=1}^n P(x_{i}) \log \left ( P \left ( x_{i} \right ))) \qquad ( \mathbf{X}= x_{1},x_{2},x_{3}...,x_{n} \right)
H(X)=−i=1∑nP(xi)log(P(xi)))(X=x1,x2,x3...,xn)
使用明天的天气概率来计算其信息熵：
| 序号 | 事件 | 概率P | 信息量 |
|---|---|---|---|
| 1 | 明天是晴天 | 0.5 | − log ( 0.5 ) -\log \left ( 0.5 \right ) −log(0.5) |
| 2 | 明天出雨天 | 0.2 | − log ( 0.2 ) -\log \left ( 0.2 \right ) −log(0.2) |
| 3 | 多云 | 0.3 | − log ( 0.3 ) -\log \left ( 0.3 \right ) −log(0.3) |
H ( X ) = − ( 0.5 ∗ log ( 0.5 ) + 0.2 ∗ log ( 0.2 ) + 0.3 ∗ log ( 0.3 ) ) H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\left ( 0.5 * \log \left ( 0.5 \right ) + 0.2 * \log \left ( 0.2 \right ) + 0.3 * \log \left ( 0.3 \right ) \right) H(X)=−(0.5∗log(0.5)+0.2∗log(0.2)+0.3∗log(0.3))
对于0-1分布的问题，由于其结果只用两种情况，是或不是，设某一件事情发生的概率为
P
(
x
)
P\left ( x \right )
P(x)，则另一件事情发生的概率为
1
−
P
(
x
)
1-P\left ( x \right )
1−P(x)，所以对于0-1分布的问题，计算熵的公式可以简化如下：
H
(
X
)
=
−
∑
n
=
1
n
P
(
x
i
log
(
P
(
x
i
)
)
)
=
−
[
P
(
x
)
log
(
P
(
x
)
)
+
(
1
−
P
(
x
)
)
log
(
1
−
P
(
x
)
)
]
=
−
P
(
x
)
log
(
P
(
x
)
)
−
(
1
−
P
(
x
)
)
log
(
1
−
P
(
x
)
)
H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\sum \limits_{n=1}^n P(x_{i}\log \left ( P \left ( x_{i} \right )) \right) \\ = -\left [ P\left ( x \right) \log \left ( P\left ( x \right ) \right ) + \left ( 1 - P\left ( x \right ) \right) \log \left ( 1-P\left ( x \right ) \right ) \right] \\ = -P\left ( x \right) \log \left ( P\left ( x \right ) \right ) - \left ( 1 - P\left ( x \right ) \right) \log \left ( 1-P\left ( x \right ) \right)
H(X)=−n=1∑nP(xilog(P(xi)))=−[P(x)log(P(x))+(1−P(x))log(1−P(x))]=−P(x)log(P(x))−(1−P(x))log(1−P(x))
相对熵（KL散度）
如果对于同一个随机变量 X X X有两个单独的概率分布 P ( x ) P\left(x\right) P(x)和 Q ( x ) Q\left(x\right) Q(x)，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。
下面直接列出公式，再举例子加以说明。
下一篇：
深入理解交叉熵损失函数的原理
D
K
L
(
p
∣
∣
q
)
=
∑
i
=
1
n
p
(
x
i
)
log
(
p
(
x
i
)
q
(
x
i
)
)
D_{KL}\left ( p || q \right) = \sum \limits_{i=1}^n p\left ( x_{i}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{i} \right )}{q\left ( x_{i} \right )} \right )
DKL(p∣∣q)=i=1∑np(xi)log(q(xi)p(xi))
在机器学习中，常常使用
P
(
x
)
P\left(x\right)
P(x)来表示样本的真实分布，
Q
(
x
)
Q \left(x\right)
Q(x)来表示模型所预测的分布，比如在一个三分类任务中（例如，猫狗马分类器），
x
1
,
x
2
,
x
3
x_{1}, x_{2}, x_{3}
x1,x2,x3分别代表猫，狗，马，例如一张猫的图片真实分布
P
(
X
)
=
[
1
,
0
,
0
]
P\left(X\right) = [1, 0, 0]
P(X)=[1,0,0], 预测分布
Q
(
X
)
=
[
0.7
,
0.2
,
0.1
]
Q\left(X\right) = [0.7, 0.2, 0.1]
Q(X)=[0.7,0.2,0.1]，计算KL散度：
D
K
L
(
p
∣
∣
q
)
=
∑
i
=
1
n
p
(
x
i
)
log
(
p
(
x
i
)
q
(
x
i
)
)
=
p
(
x
1
)
log
(
p
(
x
1
)
q
(
x
1
)
)
+
p
(
x
2
)
log
(
p
(
x
2
)
q
(
x
2
)
)
+
p
(
x
3
)
log
(
p
(
x
3
)
q
(
x
3
)
)
=
1
∗
log
(
1
0.7
)
=
0.36
D_{KL}\left ( p || q \right) = \sum \limits_{i=1}^n p\left ( x_{i}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{i} \right )}{q\left ( x_{i} \right )} \right ) \\ = p\left ( x_{1}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{1} \right )}{q\left ( x_{1} \right )} \right ) + p\left ( x_{2}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{2} \right )}{q\left ( x_{2} \right )} \right ) + p\left ( x_{3}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{3} \right )}{q\left ( x_{3} \right )} \right ) \\ = 1 * \log \left ( \frac{1}{0.7} \right ) = 0.36
D