图像降噪算法——维纳滤波
图像降噪算法——维纳滤波
- 图像降噪算法——维纳滤波
- 1. 基本原理
- 2. C++代码实现
- 3. 结论
图像降噪算法——维纳滤波
维纳滤波是在频域中处理图像的一种算法,是一种非常经典的图像增强算法,不仅可以进行图像降噪,还可以消除由于运动等原因带来的图像模糊。
1. 基本原理
在图像拍摄过程中由于各种原因会造成图像退化,图像退化模型如下: g ( x , y ) = h ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x, y)=h(x, y) \star f(x, y)+\eta(x, y) g(x,y)=h(x,y)⋆f(x,y)+η(x,y)其中, ⋆ \star ⋆为卷积符号, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为输入图像, g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)为退化图像, h ( x , y ) h(x,y) h(x,y)为退化函数, η ( x , y ) \eta(x,y) η(x,y)为加性噪声,将上式进行傅里叶变换有: G ( u , v ) = H ( u , v ) F ( u , v ) + N ( u , v ) G(u, v)=H(u, v) F(u, v)+N(u, v) G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)根据傅里叶变换的特性,空间域中的卷积相当于频率域中的乘积。
(1) 如果不考虑退化函数,图像退化模型就简化为图像噪声模型: g ( x , y ) = f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x, y)=f(x, y)+\eta(x, y) g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)图像增强问题成为单纯的图像去噪问题,可以通过空间域滤波等众多方法解决。
(2) 如果不考虑加性噪声,图像退化模型就简化为: g ( x , y ) = h ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) g(x, y)=h(x, y) \star f(x, y) g(x,y)=h(x,y)⋆f(x,y)这种问题可以通过逆滤波解决,即通过傅里叶变化以及阵列除法即可获得恢复后的图像频谱 F ^ ( u , v ) \hat{F}(u, v) F^(u,v): F ^ ( u , v ) = G ( u , v ) H ( u , v ) \hat{F}(u, v)=\frac{G(u, v)}{H(u, v)} F^(u,v)=H(u,v)G(u,v)那么 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)怎么获得呢?《数字图像处理》中的方法有观察估计、实验估计和建模估计,例如建模估计中可以通过运动数学模型将退化函数构造为: H ( u , v ) = T π ( u a + v b ) sin [ π ( u a + v b ) ] e − j π ( u a + v b ) H(u, v)=\frac{T}{\pi(u a+v b)} \sin [\pi(u a+v b)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi(u a+v b)} H(u,v)=π(ua+vb)Tsin[π(ua+vb)]e−jπ(ua+vb)
(3) 如果退化函数和加性噪声都考虑,空域滤波器无法解决图像退化问题,逆滤波效果因为噪声的存在会变得非常差,这个时候就需要用到维纳滤波,(维纳滤波的推导写在结论中)维纳滤波公式如下:
F
^
(
u
,
v
)
=
[
1
H
(
u
,
v
)
∣
H
(
u
,
v
)
∣
2
∣
H
(
u
,
v
)
∣
2
+
S
η
(
u
,
v
)
/
S
f
(
u
,
v
)
]
G
(
u
,
v
)
\hat{F}(u, v)=\left[\frac{1}{H(u, v)} \frac{|H(u, v)|^{2}}{|H(u, v)|^{2}+S_{\eta}(u, v) / S_{f}(u, v)}\right] G(u, v)
F^(u,v)=[H(u,v)1∣H(u,v)∣2+Sη(u,v)/Sf(u,v)∣H(u,v)∣2]G(u,v)其中,
S
η
(
u
,
v
)
=
∣
N
(
u
,
v
)
∣
2
S_{\eta}(u, v)=|N(u, v)|^{2}
Sη(u,v)=∣N(u,v)∣2为噪声的功率谱,这个我们可以通过用户输入的方差构造一个噪声图像
N
(
u
,
v
)
N(u, v)
N(u,v)并计算功率谱;
S
f
(
u
,
v
)
=
∣
F
(
u
,
v
)
∣
2
S_{f}(u, v)=|F(u, v)|^{2}
Sf(u,v)=∣F(u,v)∣2为输入图像的功率谱,这里乍一看会觉得有点问题,我们如果知道输入图像还需要滤波干嘛?我们当然不知道输入图像,因为真实图像的功率谱都是类似的,因此我们使用一个参考图像计算功率谱即可,在下面的例子中就是使用的lena的灰度图作为参考图像;
下面的例子中我们还对退化函数进行了简化,将退化函数置为1,因此维纳滤波公式简化为:
F
^
(
u
,
v
)
=
[
S
f
(
u
,
v
)
S
f
(
u
,
v
)
+
S
η
(
u
,
v
)
]
G
(
u
,
v
)
\hat{F}(u, v)=\left[\frac{S_{f}(u, v)}{S_{f}(u, v)+S_{\eta}(u, v)}\right] G(u, v)
F^(u,v)=[Sf(u,v)+Sη(u,v)Sf(u,v)]G(u,v)
2. C++代码实现
下面基于OpenCV实现维纳滤波
Mat Denoise::WienerFilter(const Mat &src, const Mat &ref, int stddev)
{
//这些图片是过程中会用到的,pad是原图像0填充后的图像,cpx是双通道频域图,mag是频域幅值图,dst是滤波后的图像
Mat pad, cpx, dst;
//获取傅里叶变化最佳图片尺寸,为2的指数
int m = getOptimalDFTSize(src.rows);
int n = getOptimalDFTSize(src.cols);
//对原始图片用0进行填充获得最佳尺寸图片
copyMakeBorder(src, pad, 0, m-src.rows, 0, n-src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
//获得参考图片频谱
Mat tmpR(pad.rows, pad.cols, CV_8U);
resize(ref, tmpR, tmpR.size());
Mat refSpectrum = GetSpectrum(tmpR);
//获得噪声频谱
Mat tmpN(pad.rows, pad.cols, CV_32F);
randn(tmpN, Scalar::all(0), Scalar::all(stddev));
Mat noiseSpectrum = GetSpectrum(tmpN);
//对src进行傅里叶变换
Mat planes[] = {Mat_<float>(pad), Mat::zeros(pad.size(), CV_32F)};
merge(planes, 2, cpx);
dft(cpx, cpx);
split(cpx, planes);
//维纳滤波因子
Mat factor = refSpectrum / (refSpectrum + noiseSpectrum);
multiply(planes[0], factor, planes[0]);
multiply(planes[1], factor, planes[1]);
//重新合并实部planes[0]和虚部planes[1]
merge(planes, 2, cpx);
//进行反傅里叶变换
idft(cpx, dst, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT);
dst.convertTo(dst, CV_8UC1);
return dst;
}
Mat Denoise::GetSpectrum(const Mat &src)
{
Mat dst, cpx;
Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F)};
merge(planes, 2, cpx);
dft(cpx, cpx);
split(cpx, planes);
magnitude(planes[0], planes[1], dst);
//频谱就是频域幅度图的平方
multiply(dst, dst, dst);
return dst;
}
下面是运行结果:
首先是原图:
添加上高斯噪声后:
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