理解似然函数、最大似然估计和似然比检验
最编程
2024-02-12 20:52:49
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似然比检验
似然比检验是利用似然函数来检测某个假设（或限制）是否有效的一种检验。一般情况下，要检测某个附加的参数限制是否是正确的，可以将加入附加限制条件的较复杂模型的似然函数最大值与之前的较简单模型的似然函数最大值进行比较。如果参数限制是正确的，那么加入这样一个参数应当不会造成似然函数最大值的大幅变动。一般使用两者的比例来进行比较，这个比值是卡方分配。
尼曼-皮尔森引理说明，似然比检验是所有具有同等显著性差异的检验中最有统计效力的检验。
似然比检验是一种寻求检验方法的一般法则。其基本思想如下： 设由n个观察值X1，X2，…，Xn组成的随机样本来自密度函数为f(X; θ)的总体，其中θ为未知参数。要检验的无效假设是H
0： θ=θ
0，备择假设是H1：θ≠θ
0，检验水准为α。为此，求似然函数在θ=θ
0处的值与在θ=θ(极大点)处的值(即极大值)之比，记作λ，可以知道：
(1) 两似然函数值之比值λ只是样本观察值的函数，不包含任何未知参数。
(2) 0≤λ≤1，因为似然函数值不会为负，且λ的分母为似然函数的极大值，不会小于分子。
(3)越接近θ
0时，λ越大；反之，与θ
0相差愈大，λ愈小。因此，若能由给定的α求得显著性界值λ
0，则可按以下规则进行统计推断：
当λ≤λ
0，拒绝H
0，接受H
1；当λ>λ
0，不拒绝H
0，
这里 P(λ≤λ
0)=α。
这一检验方法还可以推广到有k个参数的情形。
但是，要确定λ的界值λ
0，必须知道当H
0成立时λ的分布。当不了解λ的分布或者它的分布太复杂时，就难于确定其界值λ
0，此时可利用下述统计原理：当样本含量n较大时，
-2lnλ(本书中用符号G表示)近似x2分布；当*度大于1，甚至n较小时，这种近似的程度也是相当满意的。基于上述原理，统计中广泛应用对数似然比检验，通过计算统计量G，可按x2分布处理，不但计算方便，而且只要*度大于1，就不必考虑理论频数大小的问题。关于似然比检验的具体应用，详见条目“频数分布的拟合优度”、“两样本率比较”、“多个样本率比较”、“样本构成比的比较”以及“计数资料的相关分析”等。
(王翠香编
．概率统计
：北京大学出版社
，2010)
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