分块矩阵求逆的方法与技巧（2.10）
分块矩阵求逆
分块矩阵求逆法，把大型矩阵变成小型矩阵，可以提高计算效率。
1、准对角矩阵
A
=
[
A
11
O
O
A
22
]
A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]
A=[A11OOA22] 的逆，可以待定系数法求，设逆矩阵为
A
−
1
=
[
X
Y
Z
W
]
A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right]
A−1=[XZYW] ，则
[
X
Y
Z
W
]
[
A
11
O
O
A
22
]
=
[
E
n
O
O
E
m
]
\left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right]
[XZYW][A11OOA22]=[EnOOEm]
计算
[ X Y Z W ] [ A 11 O O A 22 ] = [ X A 11 Y A 22 Z A 11 W A 22 ] = [ E n O O E m ] \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} XA_{11} & YA_{22} \\ ZA_{11} & WA_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right] [XZYW][A11OOA22]=[XA11ZA11YA22WA22]=[EnOOEm]
令对应元素相等，得
X A 11 = E n Y A 22 = O Z A 11 = O W A 22 = E m XA_{11} = E_n \quad YA_{22} = \mathbf{O} \\ ZA_{11} = \mathbf{O} \quad WA_{22} = E_m XA11=EnYA22=OZA11=OWA22=Em
由于矩阵 A 11 , A 22 A_{11} , A_{22} A11,A22 ，可得 X = A 11 − 1 , Y = O , Z = O , W = A 22 − 1 X=A^{-1}_{11},Y=\mathbf{O},Z=\mathbf{O},W=A^{-1}_{22} X=A11−1,Y=O,Z=O,W=A22−1 ，所以 A − 1 = [ A 11 − 1 O O A 22 − 1 ] A^{-1}= \left[ \begin{matrix} A^{-1}_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A^{-1}_{22} \\ \end{matrix} \right] A−1=[A11−1OOA22−1] 。
2、准下角矩阵
A
=
[
A
11
O
A
21
A
22
]
A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]
A=[A11A21OA22] 的逆，可以待定系数法求，设逆矩阵为
A
−
1
=
[
X
Y
Z
W
]
A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right]
A−1=[XZYW] ，则
[
X
Y
Z
W
]
[
A
11
O
A
21
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