决定因素和矩阵 (III+)

1879年弗罗贝尼乌斯联系行列式，引入矩阵的秩的概念，一个m行n列的矩阵（阶为m×n）有所有k阶（1阶即元素自身到mn中较小者在内的所有阶）子式。矩阵秩为r当且仅当它至少有一个r阶子式行列式不为0，而所有高于r阶的子式行列式都为0。
两个矩阵A和B可用多种方式相联系，如果存在两个非奇异矩阵U和V使A=UBV，则称A,B等价。西尔维斯特证明：B的i行子式的行列式的最大公因子di等于A的i行子式的行列式的最大公因子di。后来H.J.S Smith研究整数元素矩阵时证明：每个秩为ρ的矩阵A等价于对角矩阵，其元素沿主对角线向下依次为h1,h2,...,hρ，且hi整除hi+1，商称为A的不变因子，不变因子和初等因子可互相确定。
西尔维斯特和魏尔斯特拉斯的行列式工作中产生了不变因子和初等因子的概念，1878年弗罗贝尼乌斯将其引入矩阵，二者的意义是：当且仅当矩阵A和矩阵B有相同的初等因子或不变因子时，AB等价。
弗罗贝尼乌斯在1878年的文章中进一步研究了不变因子并整理了不变因子和初等因子理论。他后来给出了凯莱-哈密顿定理的首个一般性证明，并排除了矩阵本征根有一些相等的情况。他还证明当AB-1=B-1A时，有确定的商A/B，(A/B)-1=B/A以及，其中AT是A的转置。

1854年厄米特使用正交矩阵这一术语，但直到1878年才由弗罗贝尼乌斯发表了正式定义：如果矩阵M等于其转置的逆即则矩阵M是正交的。弗罗贝尼乌斯还证明，如S表示对称矩阵，T表示斜对称矩阵，则正交矩阵可写为(S-T)/(S+T)或(I-T)/(I+T)

相似矩阵的概念也起源于行列式，最早追溯至柯西的工作。如果存在一个非奇异矩阵P使B=P-1AP，则矩阵A和B相似，它们的特征方程相同，具有相同不变因子和初等因子。1868年魏尔斯特拉斯对复元素矩阵证明了这一结果。一个矩阵代表一个线性齐次变换，相似矩阵可看作不同坐标系下的同一个变换。
若尔当用相似矩阵和特征方程的概念证明矩阵可变到标准型。设矩阵J的特征方程是设此处λi互不相同，则令表示一个li阶矩阵。若尔当证明J可变换到一个相似矩阵，形式为，称为矩阵的若尔当标准型或法式。

1878年弗罗贝尼乌斯用所谓逆步变换处理了A到B的相似变换，同时处理了合同矩阵或同步矩阵的概念：如果，则A与B合同，记作，比如将矩阵A同样的行和列同时对换，得到的变换就是合同变换。秩为r的对称矩阵A可以用合同变换化简成同秩的对角矩阵，即
合同变换有很多基本定理，如设S是对称的，S1合同于S，则S1是对称的，设S是斜对称的，则S1也是斜对称的。

1892年梅茨勒引入了矩阵的超越函数，把超越函数写成矩阵的幂级数，对建立了级数，如
矩阵论有很多分支，比如表示二次型和双线性型的矩阵，矩阵不变量工作的核心是把这种矩阵化简为简单的标准型。矩阵也和超复数紧密联系，1858年凯莱建立了把超复数当作矩阵研究的思想。

行列式和矩阵都已推广到无限阶。19世纪无限阶行列式用在傅里叶工作中以确定一个函数的傅里叶级数展开的系数；也出现在希尔关于常微分方程解的工作中。
傅里叶、希尔和庞加莱的工作中隐含或明显提到了无限阶矩阵，庞加莱完成了希尔的工作，不过无限矩阵的巨大动力来自于积分方程理论。

在矩阵的初等工作中，元素是实数，但它们也可以是复数或其它量，当然矩阵本身具有的性质依赖于元素的性质。19世纪末和20世纪初已研究抽象域元素的矩阵性质。矩阵论对近代物理十分重要，正如Tait所预言的，“凯莱为未来一代的物理学家锻造武器。”