逆元超详解

目录

逆元的概念：

逆元的用处：

逆元的四种求法：

快速幂求逆元

扩展欧几里得求逆元

欧拉函数求逆元

线性递推求逆元：

逆元是什么？有什么作用？怎么求逆元呢？

逆元的概念：

• 如果 a * x ​ 1 (mod p) 成立，那么 x 是 a 在 mod m 的条件下的逆元
• 注意，a和x一定都和p互质，如果不互质，则逆元不存在

逆元的用处：

计算a / b(mod p ) 的值时，如果 b 是一个很大的数，那么会爆double的精度；假设除数 b 的逆元为 inv[b] ，那么可做如下转换

a / b (mod p) ​ a * inv[b] ( mod p )

把除法转变成了乘法，避免的精度的损失；为什么上述式子是等价的呢？

设 b * k = 1 (mod p)   则 k 就是 b 的逆元（即 k = inv[b]） ；

所以 b = (m * p +1) / k  ，
那么 a / b = a /( (m * p +1)/k )mod p  =  a * k/(m * p + 1)mod p

=a * k (mod p)

如此妙哉~

逆元的四种求法：

快速幂求逆元

快速幂求逆元的前提是费马小定理的成立：

费马小定理

• 在模数p为素数的前提下，​ ​1 (mod p)

将费马小定理变形一下 ——》 ​ * a ​1 (mod p)

由此可得，a的逆元就是 ​ (mod p)

所以，用快速幂求出​的结果就行了；

扩展欧几里得求逆元

传送门：扩展欧几里得

由 a * x ​1(mod p) 得 a*x = y0 * p +1 令y=-y0, b = p;

推出：ax + by = 1 （注意：前提gcd(a,b) == 1）

然后用扩欧解方程即可，得出来的 x 就是 a 在mod p 意义下的逆元

欧拉函数求逆元

传送门：欧拉函数

• 欧拉定理：若 a 和 p 互素 ，设Φ(p) 为小于p且与p互素的正整数的个数，则有 ​

则 ： ​ * a ​ ​

得出 ​ 就是 a 在mod p 意义下的逆元

线性递推求逆元：

递推公式：

• inv[1] = 1
• inv[i] = (p-p/i) * inv[p%i] % p (i>=2开始递推)