如何求逆元例题

在数论中，逆元是指对于一个整数a和模数m，如果存在一个整数b，满足ab ≡ 1 (mod m)，那么b就是a在模数m下的逆元。求逆元在密码学和算法设计中有着重要的应用。

下面以一个例题来说明如何求逆元：

假设我们要求7在模数11下的逆元，也就是要找到一个整数b，满足7b ≡ 1 (mod 11)。

解题步骤如下：

1. 扩展欧几里得算法求解

我们可以使用扩展欧几里得算法求解上述方程的解，具体步骤如下：

a. 找到7和11的最大公约数，即gcd(7, 11) = 1；

b. 使用扩展欧几里得算法求得x和y的值，使得7x + 11y = gcd(7, 11) = 1；

c. 如果存在x，那么x就是7在模数11下的逆元，因为7x ≡ 1 (mod 11)。

根据上述步骤，我们可以求解出7在模数11下的逆元为8。

2. 费马小定理求解

费马小定理告诉我们：如果p是质数，那么对于任何整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。因此，如果我们要求a在模数p下的逆元，我们可以使用费马小定理将其转化为求a^(p-2)在模数p下的逆元。

对于上面的例题，我们可以使用费马小定理将求7在模数11下的逆元转化为求7^9在模数11下的逆元。具体步骤如下：

a. 计算7^9 mod 11的值，得到6；

b. 根据费马小定理，7^(11-2) ≡ 7^9 ≡ 6^-1 (mod 11)；

c. 因此，6的逆元即为7在模数11下的逆元，即8。

以上就是求解逆元的两种常用方法。根据实际情况选择不同的方法，可以更加高效地解决问题。