集合论--关系的运算和性质

正文

关系的定义

关系是一个有序对集合或空集合，关系之间做运算以后依然是关系。

关系的定义域(dom R )，值域(ran R )和域( RfldR)

其中< x , y > ∈ R 表示x 经过R 运算变换得到y ，也可以记作x R y

关系的运算

关系的逆、复合(合成)、限制和像

设

为任意关系，A = { 1 , 2 } 为集合

R的逆，记作R − 1

例

RR与S 的复合，复合分为左复合和右复合，一般情况下"复合"一词指的就是右复合，记作R ∘ S

左复合：

右复合：

例：左复合：

右复合：

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R 在A 上的限制，记作R ↾ A

例：

A在F 下的像，记作F [ A ]

例：

以上定义的运算是关系的基本运算

基本运算的主要性质

设R、S、T 是任意的关系，则有

关系的幂运算

设R 为A 上的关系，R ∘ R 可以简记为 R^2，称为R的二次幂。一般地可以定义R的n 次幂为R^n且有：

由定义可知R^0R就是A 上的恒等关系I A 不难证明：

由此等式可以得到：

例如：设A = { 1 , 2 , 4 , 5 } 有二元关系R=\{<1,2>,<2,1>,<4,2>,<5,1>}，则有：

关系幂运算定理*

设R 为A 上的关系，m 、n是自然数，则下列等式成立

关系的性质

设R 是A上的关系，R 的性质主要有以下5种：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。