博弈论 - 1 完整信息静态博弈
eg:古诺模型
假设古诺模型中有两个参与人，即企业 1 1 1和企业 2 2 2，他们的战略是进行产量选择。用有序向量 Γ = ( N , ( S i ) i ∈ N , ( π i ) i ∈ N ) \Gamma=(N,(S_i)_{i\in{N}},(\pi_i)_{i\in{N}}) Γ=(N,(Si)i∈N,(πi)i∈N)表示古诺博弈。
其中，
- 参与人 N = { 1 , 2 } N=\{1,2\} N={1,2}
- 策略向量
S
i
S_i
Si,
S
=
S
1
×
S
2
S=S_1\times{S_2}
S=S1×S2表示所有策略的集合
我们用 q ∈ [ 0 , ∞ ) q\in[0,\infty) q∈[0,∞)代表第 i i i个企业的产量， C i ( q i ) C_i(q_i) Ci(qi)代表成本函数， P = P ( q 1 + q 2 ) P=P(q_1+q_2) P=P(q1+q2)代表逆需求函数。第 i i i个企业的利润函数为：
π i ( q 1 , q 2 ) = q i P ( q 1 + q 2 ) − C i ( q i ) , i = 1 , 2 \pi_i(q_1,q_2)=q_iP(q_1+q_2)-C_i(q_i),i={1,2} πi(q1,q2)=qiP(q1+q2)−Ci(qi),i=1,2
我们定义纳什均衡产量
(
q
1
∗
,
q
2
∗
)
(q_1^*,q_2^*)
(q1∗,q2∗)：
q
1
∗
=
a
r
g
m
a
x
π
1
(
q
1
,
q
2
∗
)
=
q
1
P
(
q
1
+
q
2
∗
)
−
C
1
(
q
1
)
q_1^*=argmax\pi_1(q_1,q_2^*)=q_1P(q_1+q_2^*)-C_1(q_1)
q1∗=argmaxπ1(q1,q2∗)=q1P(q1+q2∗)−C1(q1)
q 2 ∗ = a r g m a x π 2 ( q 1 ∗ , q 2 ) = q 2 P ( q 1 ∗ + q 2 ) − C 2 ( q 2 ) q_2^*=argmax\pi_2(q_1^*,q_2)=q_2P(q_1^*+q_2)-C_2(q_2) q2∗=argmaxπ2(q1∗,q2)=q2P(q1∗+q2)−C2(q2)
为了使得每个企业互相都是对方的最佳应对，我们取利润函数的一阶导数并令其等于零：
∂
π
1
∂
q
1
=
P
(
q
1
+
q
2
)
+
q
1
P
′
(
q
1
+
q
2
)
−
C
1
′
(
q
1
)
=
0
\frac{\partial\pi_1}{\partial{q_1}}=P(q_1+q_2)+q_1P'(q_1+q_2)-C_1'(q_1)=0
∂q1∂π1=P(q1+q2)+q1P′(q1+q2)−C1′(q1)=0
∂
π
2
∂
q
2
=
P
(
q
1
+
q
2
)
+
q
2
P
′
(
q
1
+
q
2
)
−
C
2
′
(
q
2
)
=
0
\frac{\partial\pi_2}{\partial{q_2}}=P(q_1+q_2)+q_2P'(q_1+q_2)-C_2'(q_2)=0
∂q2∂π2=P(q1+q2)+q2P′(q
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微观经济学 "课程术语（二）