算法 - 前缀和 - 2. 模板 2D 前缀和

题目地址：二维前缀和

2.1 算法原理

1. 首先，定义了三个整数变量 m、n 和 q，并使用 cin 输入它们的值。其中，m 表示矩阵的列数，n 表示矩阵的行数，q 表示查询的次数。

2. 创建了一个二维整数向量 arr，大小为 (n+1) × (m+1)，用于存储输入的矩阵。

3. 使用两个嵌套的 for 循环，从1到 n 和从1到 m，依次输入矩阵的元素，并将其存储在 arr 中。

4. 创建了一个二维长整型向量 dp，大小为 (n+1) × (m+1)，用于存储二维前缀和。

5. 使用两个嵌套的 for 循环，从1到 n 和从1到 m，计算二维前缀和。具体做法是根据动态规划的思想，将当前位置的元素与其左边、上边和左上角位置的前缀和相加，并减去左上角位置的前缀和。将计算结果存储在 dp 中。

6. 在每次查询中，使用 cin 输入查询的范围，分别为起始点 (x1, y1) 和终止点 (x2, y2)。这表示需要计算从矩阵的 (x1, y1) 位置到 (x2, y2) 位置的子矩阵的和。

7. 输出 dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]，即子矩阵的和。这里的计算方式是利用二维前缀和的性质，通过相减来得到子矩阵的和。

8. 重复步骤 6 到步骤 7，直到完成所有的查询。

9. 返回0，表示程序顺利执行结束。

2.2 代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int m,n,q;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>arr[i][j];
        }
    }

    //预处理dp
    vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];
        }
    }

    //使用
    int x1=0,y1=0,x2=0,y2=0;
    while(q--)
    {
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
    cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0;
}