金融经济学》（王江） 最终梳理 第十章 完全市场中的资源配置和资产价格 C-CAPM

Introduction

从第二章建立一般均衡分析基本框架，第三章分析AD市场中的投资组合选择，到期望效用函数的引入，再到第八章对资产组合的排序，第九章根据两基金分离定理，将排序结论应用到多资产组合中，我们得到了资产组合选择的基础理论：如何比较两个组合的好坏：期望收益率和风险。
这一章在三六七八九章的基础上以讨论完全市场中的证券价格和资源配置（取决于组合选择）即求解一般均衡。
1、资源配置 2、个体风险消除 3、共同风险 4、资产价格 5、代表性参与者
6、C-CAPM

10.1 完全市场中的均衡

10.1.1知识回顾：完全市场等价于AD市场

1、由资产定价基本定理:在完全市场中存在唯一的$\varphi$使得 S=${\varphi }^{T}X$.
2、这样就可以构造或有状态组合即X$\theta$=$1_w$推出${\theta }_w=X^{-}$${}^1$$1_w$并且这样的组合有Ω个。完全市场中的任意组合都可以表示成或有状态组合的组合。
3、同样每个参与者的0/1期消费和禀赋也可以由状态价格折现到0期，相当于或有状态组合的组合，这等价于AD市场中的预算约束。
4、所以我们使用或有状态组合来表示消费禀赋和组合选择而非原始证券。
5、1期只有交易证券，赋予参与者市场价值等价于赋予其相同的财富（市场化）。
6、思路：参与者各自最优（预算约束）、市场出清（所有参与者加总）、帕累托最优（均衡存在且唯一）、状态价格、证券价格

10.1.2 参与者各自优化

**定理1：**当市场完全时，均衡配置与状态价格和具有相同财富分布的AD经济中一样，而与实际的市场结构以及参与者的禀赋在时间和状态上的分布无关。
证明：引入期望效用函数后，我们只是在第八章分析了基于收益率的一阶条件并未对基于消费的资产配置进行求解。

（1）期望效用函数下的优化问题：

（2）一阶条件：建立拉格朗日函数求解，可以看到多了概率分布

（3）由一阶条件求出唯一解:

（4）将解带入预算约束，然后求出λ即可得到资产配置情况

定理2 如果参与者具有严格递增且凹的效用函数，当且仅当 $\frac{{\varphi }_w}{p_w}$ > $\frac{{\varphi }_b}{p_b}$时，$c_k,$${}_w$<$c_k,$${}_b$.

有一阶条件可知$\frac{{\varphi }_w}{p_w}$ / $\frac{{\varphi }_b}{p_b}$ = $mu(c_k,$${}_w)$/$mu(c_k,$${}_b)$ 其中$\frac{{\varphi }_w}{p_w}$ 叫做状态价格密度（概率重整后的状态价格）
也就是说，状态价格密度之比等于边际效用之比，当某个状态状态价格密度大时，边际效用也大，因此消费就会减少。通俗理解就是价格比较贵。

10.1.3 市场出清

1、证券市场出清：总需求等于总供给等于市场组合。市场组合（风险资产的组合，对于每个参与者每个风险证券的市值占总风险证券的市值一致，所有参与者假加总就是总市值）

其中${\theta }_k$表示0期对证券的需求即1期的消费也是需求数量
${\overline{\theta }}_k$表示初始持有的证券即1期禀赋数量
2、对上式两边同时左乘支付矩阵即可得到商品市场出清的条件：

3、有预算约束可以推导0期商品市场出清：

4、结论：完全市场中，证券市场出清意味着商品市场出清（消费禀赋可市场化）
5、例10.1给出了求解均衡的一个例子，得出了资源配置和状态价格。

10.1.4 帕累托最优：引入*计划者

完全市场得到的均衡时帕累托最优的，AD经济(证明)，那么一般情况下，如何判断某一配置是帕累托最优呢？即追求总体最优

1、定理3：配置{$c_k$}是帕累托最优的：
如果存在一组权重${\mu }_k$>0(k=1,…K)，使得{$c_k$}是*计划者问题的解：

所谓*计划者是指面临经济总资源约束的问题，是对所有参与者的效用函数加权平均进行优化，消费受到总消费的约束 将所有参与者联系起来，而完全市场参与者是各自独立的。

1、一阶条件：拉格朗日乘数法

其中${\varphi }^1$为拉格朗日乘子，所以一阶条件即为帕累托最优的充要条件

所有参与者的相对边际效用，相对于0期，相等，等于拉格朗日乘子的比。

2、均衡解的特点：

（1）状态价格

完全市场中参与者各自最优：

*计划者参与者各自最优：
显然如果令状态价格${\varphi }_w={\varphi }_w^{\prime }/{\varphi }_0^{\prime }$

（2）资源配置

完全市场中参与者各自最优：

*计划者参与者各自最优：

参与者各自的资源配置是反解出来的。
显然，如果令${\lambda }_k={\varphi }^{\prime }/{\mu }_k$，资源配置等价于完全市场中的解

（3）结论

令状态价格${\varphi }_w={\varphi }_w^{\prime }/{\varphi }_0^{\prime }$，${\lambda }_k={\varphi }^{\prime }/{\mu }_k$ *计划者问题均衡等价于完全市场均衡。即任意一个帕累托最优配置，都可以由完全证券市场下，相对于财富C在参与者之间的某个配置的市场均衡来达到。（福利经济学第二定理）

3、最优分享规则（风险/消费）：资源配置意味着风险分担

（1）由*计划者均衡解及总资源约束：在每个状态有

（2）只看第一个因式和第三个因式，得到拉格朗日乘子是关于总资源和权重向量的函数即（其中概率分布应该给定虽然不同，但也是个常数）与状态有关。如果是C则与状态无关。

（3）将拉格朗日乘子带入均衡解

写成向量形式

（4）该最优分享规则（映射）具有性质

性质1:

两边同时对C求导可以得到一阶导累加等于1的性质。

性质2 总资源越多，消费越多。

（1）对于每个参与者相同状态下的拉格朗日乘子是相同的：
一个状态对于一个拉格朗日乘子（每个状态也对应一个消费）、状态空间概率分布相同。

（2）所以，如果对于某个k有 $c_w<c_b$，那么对于参与者k’也有 $c_w<c_b$，即每个状态所有参与者的均衡配置与其权重的乘积是相同的，所以累加起来与定理中的条件矛盾。
（3）如果是完全市场：是上述*计划者的一个解，无权重向量，那么消费只与总禀赋有关，即$c_k=f(C)$,总禀赋越高，消费越高，同时他们也承担了相应消费带来的风险，他们的风险与他们自身的禀赋无关，在证券市场上的交易使得他