算法改进：组合数学｜ 排斥原理的常见应用
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2024-03-26 10:26:18
...
容斥原理常见的问题如下。
(1) 篮球、羽毛球、网球三种运动，至少会一种的有22人，会篮球的有15人，会羽毛球的有17人，会网球的有12人，既会篮球又会羽毛球的有11人，既会羽毛球又会网球的有7人，既会篮球又会网球的有9人，那么三种运动都会的有多少人?
(2) 《西游记》《三国演义》《红楼梦》三大名著，至少读过其中一本的有20人，读过《西游记》的有10人，读过《三国演义》的有12人，读过《红楼梦》的有15人，读过《西游记》《三国演义》的有8人，读过《三国演义》《红楼梦》的有9人，读过《西游记》《红楼梦》的有7人。问三本书全都读过的有多少人?
01、原理概述
容斥原理是一种较常用的计数方法，其基本思想是: 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏，又无重复。
容斥原理核心的计数规则可以记为一句话: 奇加偶减。
假设被计数的有A、B、C三类，那么，A、B、C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A又是B的元素个数-既是B又是C的元素个数-既是A又是C的元素个数+既是A又是B且是C的元素个数，即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，如图1所示。
■ 图1容斥定理
当被计数的种类被推到n类时，其统计规则遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求［a,b］区间与n互质的数的个数，该问题可视为求［1,b］区间与n互质的个数减去［1,a-1］区间内与n互质的个数，故可先对n进行因子分解，然后从［1,b］、［1,a-1］区间中减去存在n的因子的个数，再根据容斥定理，奇加偶减，对n的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
02、常见应用
- 求［a,b］中与n互素的个数
问题可转换为区间［1,b］中与n互素的数的个数减去区间［1,a-1］中与n互素的数的个数，那么问题就转换为对于n，求1～k中与n互质的数有多少个，因此可以先反着求1～k中与n不互质的数有多少个。
故对n进行因子分解，然后从1～k中减去不能与n整除的数的个数，然后根据容斥定理奇加偶减，最后答案是: 1～b的元素个数减去1～a-1的元素个数再减去1～b中与n不互质的数的个数加上1～a-1中与n互质的数的个数，即b-(a-1)-calculate(b)+calculate(a-1)
bool bprime[N];LI prime[N],cnt,factor[N],num;void isprime() l
//筛选素数
cnt=0;
memset(bprime,false,sizeof(bprime)) ;for(LL i=2; i<N; i+) {
if(!bprime[i]) [prime[cnt++]=i;for(LL j=i*i; j<N; j+=i)bprime[il=true;
void getFactor(int n){
num= 0;
for(LL i=0;prime[i] *prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
if(n%prime[il==0) [factor[num++]=prime[il;while(n%prime[il== 0)n/=prime[il;
//记录 n 的因子
if(n!=1)
//1 既不是素数，也不是合数
factor[num++]=n;
LI calculate(LL m,LL num) (
LL res=0;
for(LL i=l; i<(1<<num); i++) {
LL sum= 0;
LI temp=1;
for(LL j=0;j<num; j++) {
if(i&(1<<j)) {
sum+ + ;
temp *=factor[j];
if(sum%2)
res+=m/temp;
else
res-=m/temp;
return res;
int main() {
isprime();
LL a,b,n;
scanf("%1ld%lld号lld",&a,&b,&n);getFactor(n)//容斥定理，奇加偶减LL res= (b-(a-1)-calculate(b,num))+calculate(a-1,num);printf("lld\n",res);return 0;
- 求［1,n］中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数a［i］来说，我们知道在1-n中有n/a［i］个数是a［i］的倍数，但这样将m个数扫一遍一定会用重复的数，因此需要用到容斥原理。
根据容斥定理的奇加偶减，对于m个数来说，其中的任意2，4，…，2k个数就要减去它们最小公倍数能组成的数，1，3，…，2k+1个数就要加上它们的最小公倍数，因此m个数就有2m种情况，对于每种状态，依次判断由多少种数组成，然后再进行奇加偶减即可。
根据容斥原理有: sum=从m中选1个数得到的倍数的个数-从m中选2个数得到的倍数的个数+从m中选3个数得到的倍数的个数-从m中选4个数得到的倍数的个数……
那么,能被整除的个数就是sum，不能被整除的个数就是n-sum。
LL GCD(IL a,LL b) {
return !b? a:GCD(b,ab) ;
LL LCM(LL a,LL b)[
return a/GCD(a,b) *b;
IL a[N];
int main(){
II n;
int m;
scanf("1ldd",&n, &m) ;for(int i=0;i<m;i++)scanf("%lld",&alil);
LL sum= 0;for(int i=0;i<(1<<m) ;i++){
LL lcm= 1;LL cnt=0;for(int j=0;j<m;j++){
if(i&(1<<j)){
lcm=LCM(lcm,aljl) ;cnt++;
//2”种状态
//从 m 中选出个数
if(cnt!=0){
if(cnt&1)
//奇加
sum+=n/lcm;
else
//偶减
sum-=n/1cm;
printf(%lld "lld\n",sum,n-sum);return 0;
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print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式，适用于任何类型的值，也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数（Values and Functions） 在F#中函数也是值，F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似，只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值，也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说，它定义在add的基础上，它只向add传递了一个参数，这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念，F(x, y) = x + y，G(y) = F(4, y)，实际上G(y) = 4 + y，G也是一个函数，它接收一个参数，这个地方是不是很类似？这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化（curried function）。 当然对某些函数来说，传递部分参数是无意义的，此时需要强制提供所有参数，可是将参数括起来，将它们转换为元组（tuple）。下面的例子将不能编译通过： let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数，如sub(4, 5)，这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说，前者具有更高的灵活性，一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值，我们应当将这些行进行缩进： let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是，缩进时要用空格而不是Tab，如果你不想每次都按几次空格键，可以在VS中设置，将Tab字符自动转换为空格；虽然缩进的字符数没有限制，但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域（Scope）作用域是编程语言中的一个重要的概念，它表示在何处可以访问（使用）一个标识符或类型。所有标识符，不管是函数还是值，其作用域都从其声明处开始，结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言，一旦为其赋值，它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用，这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符，一般而言，它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们，有时这会很有用，对于某些函数来说，计算过程涉及多个中间值，因为值是不可修改的，所以我们就需要定义多个标识符，这就要求我们去维护这些标识符的名称，其实是没必要的，这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型，但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全，其基本意义是F#会避免对值的错误操作，比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中，第一行和第二行都没问题，第三行就有问题了，在重定义x的时候，赋给它的值是x + 1，而x是字符串，与1相加在F#中是非法的。 另外，如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果： fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value，因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值，其有效范围仅仅在innerFun内部。递归（Recursion）递归是编程中的一个极为重要的概念，它表示函数通过自身进行定义，亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数： let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配（F#的一个很棒的特性），其C#版本为： public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心，可能会写出不能终止的递归。匿名函数（Anonymous Function） 定义函数的时候F#提供了第二种方式：使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名，这种函数就是所谓的匿名函数，有时称为lambda函数，这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数，通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun，我们还可以使用function关键字定义匿名函数，它们的区别在于后者可以使用模式匹配（本文后面将做介绍）特性。看下面的例子： let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun，因为它更为紧凑，在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意：本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写，在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面