[通信原理：通往深渊之路] - 理解部分响应基带传输系统和比特误差扩展解决方案
在之前的博文：【通信原理 入坑之路】—— 深入理解奈奎斯特第一准则与码间串扰中，我们详细地讨论了奈奎斯特第一准则：我们知道，理想的情况下，我们的码元速率最大可以到
R
s
=
2
W
R_s = 2W
Rs=2W，此时我们的频带利用率
η
η
η也可以达到最大：
η
=
R
s
W
=
2
(
B
a
u
d
/
H
z
)
η = \frac{R_s}{W} = 2(Baud/Hz)
η=WRs=2(Baud/Hz)
但是，由于奈奎斯特脉冲（也就是sinc函数）它在频域上是一个理想低通滤波器；这在物理上是非常难以实现的。所以后面我们就引入了升余弦滚降滤波器，他在频域没有理想低通滤波器那么陡峭，因此物理上易于实现，但是其频谱的带宽就是理想低通滤波器的
(
1
+
α
)
(1+α)
(1+α) 倍，因此，频带利用率就降低为：
η
=
R
s
(
1
+
α
)
W
=
2
1
+
α
η = \frac{R_s}{(1+α)W} = \frac{2}{1+α}
η=(1+α)WRs=1+α2
那么，善于思考的工程师们就在想啊—— 有没有这样一种方法：既可以使得频带利用率最高，且能够避免ISI；同时在物理上有便于实现呢？今天我们要讨论的，就是这样一种技术：部分响应
文章目录
- 1. 部分响应系统的推导与理解
- 2. 部分相应系统的大敌人—— 误码扩散
- 3. 部分响应系统的预编码和相关编码技术
1. 部分响应系统的推导与理解
既然要使得频带利用率最大，那必然和奈奎斯特脉冲脱不了关系。我们先看一个奈奎斯特脉冲的函数表达式： s i n c ( t / T ) = s i n π t T π t T sinc(t/T) = \frac{sin\frac{πt}{T}}{\frac{πt}{T}} sinc(t/T)=TπtsinTπt
那么下面，我们考虑上面这个奈奎斯特脉冲和一个延时了T的奈奎斯特脉冲的合成波：
h
(
t
)
=
s
i
n
c
(
t
T
)
+
s
i
n
c
(
t
−
T
T
)
h(t) = sinc(\frac{t}{T}) + sinc(\frac{t-T}{T})
h(t)=sinc(Tt)+sinc(Tt−T)
这个就是“第Ⅰ类部分响应信号”。
也即是说：我们希望整个信号的频率响应
H
(
f
)
=
G
T
(
f
)
C
(
f
)
G
R
(
f
)
H(f) = G_T(f)C(f)G_R(f)
H(f)=GT(f)C(f)GR(f)的傅里叶变换就是这个第Ⅰ类部分响应信号。 其中，
h
(
t
)
h(t)
h(t) 和
H
(
f
)
H(f)
H(f) 如下图所示：
此时，我们可以看到， H ( f ) H(f) H(f)的频谱宽度仍然是 W ，但是由于其频谱具有平滑的滚降特性，所以是可以用实际的低通滤波器来实现的。
可是，细心的大家就会发现了 —— 奈奎斯特准则里面不是说： H ( f ) H(f) H(f) 以 k R s kR_s kRs 做周期延拓之后的叠加要是一个常数才不会出现码间串扰吗？可是你上图这个频谱完全不满足这个性质啊？那你怎么还能说部分响应没有 ISI 呢？
为什么是这个形式呢？一会儿你就知道了：
我们再来看一下所要传输的消息序列的表示：（如上图所示） ∑ n = − ∞ + ∞ a n δ ( t − n T ) \sum_{n=-∞}^{+∞}a_n δ(t - nT) n=−∞∑+∞anδ(t−nT)
那么这个信号经过红框所表示的整个系统（ H ( f ) H(f) H(f)）之后所得到的输出 y ( t ) y(t) y(t) 可以表示为： y ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ a n h ( t − n T ) = ∑ n = − ∞ + ∞ a n ( s i n c ( t − n T T ) + s i n c ( t − ( n + 1 ) T T ) ) \begin{aligned} y(t)& =\sum_{n=-∞}^{+∞}a_n h(t - nT)\\ &=\sum_{n=-∞}^{+∞}a_n(sinc(\frac{t-nT}{T}) + sinc(\frac{t-(n+1)T}{T})) \end{aligned} y(t)=n=−∞∑+∞anh(t−nT)=n=−∞∑+∞an(sinc(Tt−nT)+sinc(Tt−(n+1)T))
接下来，我们把求和号里面的两项分别拆开来看： ∑ n = − ∞ + ∞ a n s i n c ( t − n T T ) + ∑ n = − ∞ + ∞ a n s i n c ( t − ( n + 1 ) T T ) \sum_{n=-∞}^{+∞}a_n sinc(\frac{t-nT}{T}) + \sum_{n=-∞}^{+∞}a_n sinc(\frac{t-(n+1)T}{T}) n=−∞∑+∞ansinc(Tt−nT)+n=−∞∑+∞ansinc(Tt−(n+1)T)
第一项没有问题，但是我们看第二项：既然 n n n 的取值范围都是从负无穷到正无穷了，那么其实我们可以令： n = n − 1 n = n-1 n=n−1，这样一来其实 n n n 的范围并不会因为你多减了一个1而变化。所以第二项就变成了： ∑ n = − ∞ + ∞ a n − 1 s i n c ( t − n T T ) \sum_{n=-∞}^{+∞}a_{n-1} sinc(\frac{t-nT}{T}) n=−∞∑+∞an−1sinc(Tt−nT)
所以
y
(
t
)
y(t)
y(t) 就可以表示为：
y
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
(
a
n
+
a
n
−
1
)
s
i
n
c
(
t
−
n
T
T
)
y(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞}(a_n + a_{n-1}) sinc(\frac{t-nT}{T})
y(t)=