备战 "蓝桥杯"--与数论有关的问题

通过某一个数字的唯一分解定理，可以推出约数和定理。约数和定理是指对于任意一个正整数n，它的所有约数的个数可以通过对n进行唯一分解后的指数加1的乘积来计算。

具体来说，如果将正整数n进行唯一分解，得到其质因数分解式为： n = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * … * pk^ak 其中，p1, p2, p3, …, pk为不同的质数，a1, a2, a3, …, ak为对应的指数。

根据唯一分解定理，n的所有约数可以通过对指数进行组合得到。对于每个质因数pi，它的指数ai可以取0到ai之间的任意整数，这样就可以得到ai+1个选择。因此，n的所有约数的个数为(a1+1) * (a2+1) * (a3+1) * … * (ak+1)。

以20为例，将20进行唯一分解得到其质因数分解式为： 20 = 2^2 * 5^1 其中，2和5为不同的质数，指数分别为2和1。

根据约数和定理，20的所有约数的个数为(2+1) * (1+1) = 6。即20的约数有6个，分别为1、2、4、5、10和20。

也就是：

（1）2^0*5^0=1

（2）2^0*5^1=5

（3）2^1*5^0=2

（4）2^1*5^1=10

（5）2^2*5^0=4

（6）2^2*5^1=20