线性映射：凯利的矩阵乘法导论 - 4 与 SVD 的联系

用矩阵表示，自然就是将一个空间中的某个向量在某组基下的坐标，然后通过矩阵-向量乘法将其转换为另一个空间中的向量坐标。

即用矩阵表示坐标向量之间的转换，如 ，这里 和 都是在各自坐标系下的坐标。

对任意向量 的作用由它对于一组基的作用唯一地（由线性）确定。

我们考虑上文中那个将 2D 平面映射到 3D 空间中某个平面的线性映射。

矩阵 的 SVD 分解为

对于任意向量 （ 是任意的，因此  也是任意的），则有

由于 是任意的，可得在 以及 基底下，这个线性映射就是，

此时，这个线性映射的矩阵非常简单，那就是一个对角矩阵 。

好了，从这个例子可以看到: 可以用矩阵表示两个线性空间之间的变换，而矩阵的 SVD 分解给出了两个空间的特殊的基底，从而简化这个线性变换的矩阵形式。

这就是矩阵 SVD 分解的巧妙之处，关于它，这里点到为止，具体内容以及相应图解将在后期展开。