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摘要:本文介绍了相机的内参和外参以及推导过程,由三个部分组成:第一部分,相机内参;第二部分,相机外参;第三部分,总结。
1 相机内参
在左图中,我们把相机看作是针孔,现实世界中的点P经过相机的光心O,投影到物理成像平面上,变为点P'。
在右图中,对这个模型进行了一个简化,将其看作是一个相似三角形。
下面我们来对这个模型进行建模。
设O-X-Y-Z为相机坐标系,习惯上我们把z轴指向相机前方,x向右,y向下。O为摄像机的光心,也是针孔模型中的针孔。
设真实世界点中的P的坐标为,成像的点P'的坐标为, 物理成像平面和光心的距离为f(即为焦距)。
根据右图中的三角形相似关系,有:
其中,有负号是因为坐标轴方向,也就表示了成的像是倒立的。
为了表示起来更方便,我们把成像平面从相机的后面对称到前面去,如下图所示。这样,负号就没有了。
在对称后,有:
整理解出P'的坐标:
上面两个式子就描述了P点与它所成像的坐标关系,可以看到,X对应的X'与焦距f有关,与距离Z有关。
映射到成像平面上还不够,我们还需要将这个像给放到像素坐标系内。
我们设在物理成像平面上固定着像素平面O-U-V。
设P'在像素平面坐标系上的坐标是。
像素坐标系通常定义方式是:原点o'位于图像的左上角,u轴向右与x轴平行,v轴向下与y轴平行。
我们设像素坐标在u轴上缩放倍,在v轴上缩放了倍。同时,原点平移了Cx,Cy。
因此可以得到P'与像素坐标的关系:
代入P与P'的关系式可得:
其中,我们用,替换了f 和f 。,的单位是像素。
用齐次坐标,把上式写出矩阵的形式:
也可以把Z写到等式左边去,就变成了:
上式中,K即为相机的内参矩阵(Intrinsics)。通常来说,相机的内参在出厂之后就是固定的了。
2 相机外参
在上面的推导中,我们用的是P在相机坐标系的坐标(也就是以相机为O点),所以我们应该先将世界坐标系中的给变换到相机坐标系中的P。
相机的位姿由旋转矩阵R和平移向量t来描述,因此:
再代入之前的内参的式子,得到:
后面一个等号蕴含了一个齐次坐标到非齐次坐标的转换。
其中,R,t为相机的外参(Extrinsics)。
3 总结
本文介绍了:
从相机坐标系转换到像素坐标系中,相机内参的作用
从世界坐标系转换到相机坐标系中,相机外参的作用
相机内参是这样的一个矩阵:
里面的参数一般都是相机出厂就定下来的,可以通过相机标定的方式人为计算出来。
相机外参是旋转矩阵R和平移向量t构成,一般来说写成:
这个矩阵决定了相机的位姿。
参考文献:
[1] 视觉slam十四讲,高翔
[2] Step1:模型 16个相机参数(内参、外参、畸变参数)
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print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面