n 个自然数中任意 r 个数的所有组合（递归算法）

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• NeurIPS 2022 | 最强斗地主AI！网易互娱AI Lab提出基于完美信息蒸馏的方法-完美信息蒸馏(PTIE) 在斗地主游戏中，非完美信息的引入主要是由于三位玩家均不能看到别人的手牌，对于任意一位玩家而言，仅可知道其余两位玩家当前手牌的并集，而难于精准判断每位玩家当前手牌。完美信息蒸馏的思路是针对这种非完美问题，构建一个第三方角色，该角色可以看到三位玩家的手牌，该角色在不告知每位玩家完美信息的情况下通过信息蒸馏的方式引导玩家打出当前情况下合理的出牌。 以强化学习常用的 Actor-Critic 算法为例，PTIE 在 Actor-Critic 算法的应用中可以利用 Critic 的 Value 输出作为蒸馏手段来提升 Actor 的表现。具体而言即在训练中 Critic 的输入为完美信息(包含所有玩家的手牌信息)，Actor 的输入为非完美信息(仅包含自己手牌信息)，此种情况下 Critic 给予的 Value 值包含了完美信息，可以更好地帮助 Actor 学习到更好的策略。 从更新公式上来看，正常的 Actor-Critic 算法 Actor 更新的方式如下： 在 PTIE 模式下，对于每个非完美信息状态 h，我们可以在 Critic 中构建对应的完美信息状态 D(h)，并用 Critic 的输出来更新 Actor 的策略梯度，从而达到完美信息蒸馏的效果。 PTIE 框架的整体结构如下图所示： 无论是训练还是执行过程中智能体都不会直接使用完美信息，在训练中通过蒸馏将完美信息用于提升策略，从而帮助智能体达到一个更高的强度。 PTIE 的另一种蒸馏方式是将完美信息奖励引入到奖励值函数的训练中，PerfectDou 提出了基于阵营设计的完美信息奖励 node reward，以引导智能体学习到斗地主游戏中的合作策略，其定义如下： 如上所示，完美信息部分 代表 t 时刻地主手牌最少几步可以出完，在斗地主游戏中可以近似理解为是距游戏获胜的距离， 代表 t 时刻地主阵营和农民阵营距游戏获胜的距离之差， 为调节系数。通过此种奖励设计，在训练时既可以一定程度地引入各玩家的手牌信息(出完的步数需要知道具体手牌才能计算)，同时也鼓励农民以阵营的角度做出决策，提升农民的合作性。 特征构建： PerfectDou 针对牌类游戏的特点主要构建了两部分特征：牌局状态特征和动作特征。其中牌局状态特征主要包括当前玩家手牌牌型特征、当前玩家打出的卡牌牌型特征、玩家角色、玩家手牌数目等常用特征，动作特征主要用于刻画当前状态下玩家的所有可能出牌，包括了每种出牌动作的牌型特征、动作的卡牌数目、是否为最大动作等特征。 牌型特征为 12 * 15 的矩阵，如下图所示： 该矩阵前 4 行代表对应每种卡牌的张数，5-12 行代表该种卡牌的种类和对应位置。 网络结构和动作空间设计 针对斗地主游戏出牌组合数较多的问题，PerfectDou 基于 RLCard 的工作上对动作空间进行了简化，对占比最大的两个出牌牌型：飞机带翅膀和四带二进行了动作压缩，将整体动作空间由 27472 种缩减到 621 种。 PerfectDou 策略网络结构如下图所示： 策略网络结构同样分为两部分：状态特征部分和动作特征部分。 在状态特征部分，LSTM 网络用于提取玩家的历史行为特征，当前牌局状态特征和提取后的行为特征会再通过多层的 MLP 网络输出当前的状态信息 embedding。 在动作特征部分，每个可行动作同样会经过多层 MLP 网络进行编码，编码后的动作特征会与其对应的状态信息 embedding 经过一层 MLP 网络计算两者间的相似度，并经由 softmax 函数输出对应的动作概率。 实验结果

• n 个自然数中任意 r 个数的所有组合（递归算法）

• 《【算法导论】动态规划在矩阵链乘法中的应用》 #include void printParentheses(int s[6][6], int i, int j); // 打印加括号的位置 void matrixOrder(int* p, int n, int m[6][6], int s[6][6]); // 计算最佳加括号的方式 int main() { int p[7] = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25}; // 记录6个矩阵的行和列，注意相邻矩阵的行和列是相同的 int m[6][6] = {0}; // 存储第i个矩阵到第j个矩阵的计算代价（以乘法次数来表示） int s[6][6] = {0}; // 存储第i个矩阵到第j个矩阵的最小代价时的分为两部分的位置 int n = 6; // 矩阵个数 matrixOrder(p, n, m, s); printf("最终加括号的形式为：\n"); // 输出加括号的位置 printParentheses(s, 0, 5); return 0; } /****************************************************\ 函数功能：计算最佳的加括号的方式，得到m和s矩阵 输入： 矩阵的行和列p, 初始化的m和s矩阵 输出： 无 \****************************************************/ void matrixOrder(int* p, int n, int m[6][6], int s[6][6]) { int q = 0; int j = 0; for (int i = 0; i < n; i++) m[i][i] = 0; for (int l = 2; l <= n; l++) for (int i = 0; i < n - l + 1; i++) { j = i + l - 1; m[i][j] = 1000000; for (int k = i; k < j; k++) // 在i,j中遍历每一个分割的位置 { q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1]; // 计算代价 if (q < m[i][j]) { m[i][j] = q; s[i][j] = k; } } } } /****************************************************\ 函数功能：打印加括号的位置 输入： s矩阵，想要计算的矩阵链的起始和结尾位置 输出： 无 \****************************************************/ void printParentheses(int s[6][6], int i, int j) { if (i == j) printf("A%d", i); else { printf("("); printParentheses(s, i, s[i][j]); printParentheses(s, s[i][j] + 1, j); // 递归调用 printf(")"); } }

• F#探险之旅（二）：函数式编程（上）-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式：函数式编程（Functional Programming，FP）、命令式编程（Imperative Programming）和面向对象（Object-Oriented，OO）的编程。回顾它们的历史，FP是最早的一种范式，第一种FP语言是IPL，产生于1955年，大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp，产生于1958，早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言，它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟，至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出，各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言（SML，Ocaml，Haskell及Clean等）和类FP语言（APL和Lisp是现实世界中最成功的两个）在1950年代就不断发展，FP仍停留在学院派的“象牙塔”里；而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天，FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的（当然更简单的问题也不在话下）。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合，它不允许有副作用（side effect，即改变了状态），使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数，它们都不改变程序的状态。举个简单的例子，一旦将一个值赋给一个标识符，它就不会改变了，函数不改变参数的值，返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅，FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题，它的优势之一就是融合了多种编程范式，允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章：Why Functional Programming Matters（中文版）。F#中的函数式编程 从现在开始，我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符（Identifier） 在F#中，我们通过标识符给值（value）取名字，这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符，如： let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句，两者有着关键的不同。在纯粹的FP中，一旦值赋给了标识符就不能改变了，这也是把它称为标识符而非变量（variable）的原因。另外，在某些条件下，我们可以重定义标识符；在F#的命令式编程范式下，在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数，在F#中函数本质上也是值。也就是说，F#中没有真正的函数名和参数名的概念，它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的，只是会有额外的标识符表示参数： let add x y = x + y 这里共有三个标识符，add表示函数名，x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记，它们被编译器保留作特殊之用。在F#中，不能用作标识符或类型的名称（后面会讨论“定义类型”）。它们是： abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字，但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称，但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性，最好不要使用。它们是： atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值（Literals） 文字值表示常数值，在构建计算代码块时很有用，F#提供了丰富的文字值集。与C#类似，这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等，在此不再赘述，详细信息请查看F#手册。 与C#一样，F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串（regular string），其中可包含转义字符；二是逐字字符串（verbatim string），其中的（"）被看作是常规的字符，而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示： let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy  // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer，8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main =     print message;     print dir;     print bytes;     print xA;     print xB;      main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式，适用于任何类型的值，也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数（Values and Functions） 在F#中函数也是值，F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似，只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值，也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说，它定义在add的基础上，它只向add传递了一个参数，这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念，F(x, y) = x + y，G(y) = F(4, y)，实际上G(y) = 4 + y，G也是一个函数，它接收一个参数，这个地方是不是很类似？这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化（curried function）。 当然对某些函数来说，传递部分参数是无意义的，此时需要强制提供所有参数，可是将参数括起来，将它们转换为元组（tuple）。下面的例子将不能编译通过： let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数，如sub(4, 5)，这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说，前者具有更高的灵活性，一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值，我们应当将这些行进行缩进： let halfWay a b =     let dif = b - a     let mid = dif / 2     mid + a 需要注意的是，缩进时要用空格而不是Tab，如果你不想每次都按几次空格键，可以在VS中设置，将Tab字符自动转换为空格；虽然缩进的字符数没有限制，但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域（Scope）作用域是编程语言中的一个重要的概念，它表示在何处可以访问（使用）一个标识符或类型。所有标识符，不管是函数还是值，其作用域都从其声明处开始，结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言，一旦为其赋值，它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用，这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage =     let message = "Help me" print_endline message // error  对于在函数内部定义的标识符，一般而言，它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们，有时这会很有用，对于某些函数来说，计算过程涉及多个中间值，因为值是不可修改的，所以我们就需要定义多个标识符，这就要求我们去维护这些标识符的名称，其实是没必要的，这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型，但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全，其基本意义是F#会避免对值的错误操作，比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType =     let x = 1     let x = "change me"     let x = x + 1     print_string x 在本例的函数中，第一行和第二行都没问题，第三行就有问题了，在重定义x的时候，赋给它的值是x + 1，而x是字符串，与1相加在F#中是非法的。 另外，如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages =     let message = "fun value"     printfn "%s" message;     let innerFun  =         let message = "inner fun value"         printfn "%s" message     innerFun      printfn "%s" message      printMessages 打印结果： fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value，因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值，其有效范围仅仅在innerFun内部。递归（Recursion）递归是编程中的一个极为重要的概念，它表示函数通过自身进行定义，亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数： let rec factorial x =     match x with     | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0"       | 0 -> 1     | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配（F#的一个很棒的特性），其C#版本为： public static long Factorial(int n) {     if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); }     if (n == 0) { return 1; }     return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心，可能会写出不能终止的递归。匿名函数（Anonymous Function） 定义函数的时候F#提供了第二种方式：使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名，这种函数就是所谓的匿名函数，有时称为lambda函数，这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数，通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun，我们还可以使用function关键字定义匿名函数，它们的区别在于后者可以使用模式匹配（本文后面将做介绍）特性。看下面的例子： let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun，因为它更为紧凑，在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意：本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写，在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面