互质数的性质和裴枢定理

 

两个互质数的线性组合=1必定有解。

 

即ax + by = 1 （a、b互质， a > b）。

当x=1,y 的值等于某个数时，ax+by的值为 a%b， 设这个数为z

·若a%b = 1， 原表达式成立；

 

·若a%b ！= 1， 则 a + bz = a%b，于是 x *（a + bz） = x * （a%b）(ax+by可以表示成a%b的线性组合)

 

既然ax + by 可以表示成（a%b）的线性组合 ， 则 ax + by 可以表示成 a 和 （a%b） 的线性组合 或 b 和 （a%b）的线性组合 或 a、b 和 （a%b）的线性组合。

（经验告诉我们，选第二个啦）

此时问题转化为了b和（a%b）的线性组合 = 1是否有解， 即 bx + （a%b）* y = 1 是否有解，

不停转换下去，因为gcd（a，b） == 1， 最终b 一定 为 1， a%b 一定等于0， 于是此表达式一定有解。

然后裴蜀定理（ax + by = gcd（a，b）一定有解）也就这样被证明了（？！）。

 

推论：{

（1）：

互质数的最小公倍数是这两个数之积，即 lcm（a，b） = a*b。

 

解释， 由于 a、b互质， 则 ax + by = 1 必定有解， 设两个数的一个公倍数是N，

则 a|N 且 b|N， 于是 （a*b）| （N*b）且（a*b）|（N*a）， 于是（a*b）|（x*（N*b）+y*（N*a）），

即（a*b）|（N*（ax + by））， 而ax + by 的最小值(非零)为1， 于是（a*b）|N，这意味着

a、b的公倍数是（a*b）的倍数， （a*b）的最小倍数（非零）是 1， 则a、b的最小公倍数是 a*b。

}