高等数学思维方法研究（I）

文/苏坡六

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高等数学是大学所有科目中的一门必修课，也是一门比较抽象难懂的学科。

每年有不少不大学生都会在这门学科上栽跟头，我之前也不喜欢学习这门学科，但是慢慢的与它接触，我发现这门学科是一门非常有意思的学科，还有它的很多思想可以非常智慧的来指导我们的生活，下面我来分享我和高数身上学到的智慧。

极限思维

高数中的极限计算是全本高数计算三大题型之一，里面有一个知识点是等价无穷小，值钱的是等价这两个字。

其实生活中的很多问题完全可以用等价的思维来指导理解，简单举个例子比如说9.9元就可以看做是10元，今年陕西的理科分数线是425你考了424和考了300分的同学是一样的，都没过线？差一分就及格和没及格的没有多大差别？看到这里你可能有点看不下去我写的这段话了，但是如果站在量级的角度上思考，他们确实是等价的。

关于极限，你不可能在平面上画出一个三角形，让它的三个角之和大于180度。当然，很多数学的极限也不是那么明显的，如果我们把自己的思维限制在生活的周围，是看不出来的。为了说明这一点，我们不妨看两个颇为相像的问题：

第一个问题，1+1/2+1/4＋1/8＋1/16......，不断加下去会是无穷大吗？有人觉得会，因为加的数字是无穷无尽的。其实，在数学上可以严格地证明即便无限加下去，总和也不会超过2，也就是说它有极限。这和我们的生活经验其实有点相背离了，不过还不算太难理解，因为后面的数字越加越小。

第二个问题就更加费解一点了，还是类似的加法，1+1/2+1/3＋1/4＋1/5......，不断加下去会有极限么？如果你按照上一个问题的思路来考虑这个问题，得到的结论应该是有一个极限，因为也是越加越小，加的数字趋近于零。如果你是这么想的，我不得不告诉你，非常遗憾，你猜错了，这个序列加下去还真是无穷大。

这两个看上去差不多的序列，凭什么一个加起来连2都不到，另一个却是无穷大？人有这样的问题很正常，因为我们生活的范围限制了我们的思维。对这两个问题正确的思考方式应该是，抛开我们生活中习惯的约束，或者说认知的约束，用一个正确的数学或者工程工具去寻找答案。

而这个工具，常常需要跳出问题本身。这就如同你看蚂蚁的爬行轨迹时，不能跟在它的后面，而要从它的上方看。

高数中的极限比如上图这个求极限问题，当这个心趋向于0的时候，图中这个公式就会总体取值为E，学过高数的同学都知道，这个公式是第二重要极限。

关于这个公式还有一个传奇的爱情故事，讲的是两个异地恋的恋人，女孩子坚持不下去了，就给男孩子写了分手信，男孩子接到信后思考了一下就给女孩子回了一封信，信的内容就是这个图片图片，女孩子看了之后问男孩子什么意思？

男孩子说：“虽然我们两人相差千里，但是只要我们的心无线靠近我们的爱就会一直存在，而我对你的爱也是一心一意”

后来男孩子这段话打动了女孩子，后来他们结婚了，男孩的戒指上刻有cos x² 女孩子的戒指上刻有的是sin x²而cos x²＋sin x²＝1，代表两人合二为一，永结同心。

这样一理解，你就会发现数学并不是那样的枯燥无味，其实它很好玩也很浪漫。

2.

极限的思想如果用于自己身上的话，第一步你应该认识到你自己的极限所在。

比如说你一小时最多只能看200页书，那么你给自己定的目标是一小时看500页，可以说是没有任何意义的，因为你肯定完成不了。

进一步应用到生活中，你每天给自己定的日程表任务是否在自己的极限范围内呢？月目标年目标是否在自己的可控极限内呢？

为什么每年每月每天结束的时候很多人，看看自己起初制定的计划才发现，自己真的是想多了？

其实这里面有一个关键因素就是没有认识清楚自己的可完成极限？

第二步就是找到自己的极限范围制定合理科学的计划。

制定计划的时候先思考一下自己的可控制极限，可以大大的提高自己的效率，同时可以减少你因为没能完成自己设定的目标而产生的焦虑感，还可以增加你的成就感和幸福感。

这就是极限带给我们的小确幸。

3.

抓大头的思想

上图中当极限x趋向于零的时候，公式里的较大的项就是没有用的项，我们需要留下的只是较小项；当x趋向于无穷大的时候，这个时候公式里面的较大项目留下，较小的直接去掉，因为没有什么大的意义，这两个公式里面的共同点就是永远保留有大影响的一项，舍弃影响较小的一项目，换句话说就是留下西瓜，舍弃芝麻。

在生活中大家都知道抓主要的舍弃次要的，但是具体在生活中一用，十个里面有八个不会灵活应用，记得有一次我兼职和一位老板一起吃饭，我们一起吃的肉夹馍突然老板接到消息要迅速到一个地方，在这个时候老板的一个举动至今让我难忘，只见他把肉夹馍里面的肉迅速吃完，扔掉了外面的馍。这不就是抓大头的思想嘛，永远留下的是最有价值的东西，果断舍弃那些并不重要的东西。

我认识一个女孩子准备考研，但是每次我在校园见到她的时候她总是告诉自己要赶去兼职。有一次发微信和她聊天，我才知道原来她在带那种小学辅导班，每天去三小时就为赚人家30元。

每次问她复习的咋样了，她总是语无伦次、、、、、一学期也就匆匆过去了，她虽然赚了几千块钱但是她不知道的是无形之间流走了太多的财富。就让我想起来茨威格说过的一句话：“她那是还年轻，不知道命运所赠送的礼物，早已经在暗中标好了价格。

相比于花自己大量时间廉价劳动力兼职和自己考研比起来不就是芝麻和西瓜的量级关系吗？

她不知道的是自己考研成功就是巨大的财富啊，站在未来的时间维度上思考，现在兼职带给你的这点钱却让你葬送了自己一个更加美好的前途，你不是赚钱你是在赔钱而且赔大了毫无疑问。

现实生活中这样的例子还有太多太多，不如在我们遇见的事情先思考一下，看清楚那边是大头先选定好方向，然后再出发其实你会发现你已经成功了一半，也正是这些一次次抓对了大头，才让你遇见更棒的自己。

4.

相互转化思想

每次做高数题比打刺激战场还刺激，有时候一个题半天没有半点思路，这个时候高数老师的话就会飘荡在我的耳旁，变形转换一下，一条思路行不通不如换条别的思路。把自己不会的通过灵活转换变为自己会的就是一种跃迁，果然好多题并不是自己不会做，只是不会转换而已。

这就好比如果说罗马是标准答案，不管你是从那条路上来的，只要最终你到达罗马就行，一条路走不通的时候不如我们换条路，现实生活中人们往往关心的不是你走的那条路的简单困难与否，而是你最终有没有到达罗马？

记得之前看过有一个笑话说的是，古时候有一个人拿个竹竿一上午进不去城楼，原因是他的竹竿是竖着拿着的，于是有人给他出主意要他还是把竹竿截为三段在进入城楼吧，但是这位老兄又不愿意这样干，于是苦苦思索着，就在这个时候一个小孩子背起竹竿轻轻松松就进入城楼了，他终于明白了原来竹竿竖着进不了但是可以横着进入啊。

曾经有这样一个新闻，一个卡车司机自己的车坏了，陷入一个坑中久久不能出来，这个老兄灵机一动不如叫上十份外卖吧，这是干什么呢？

不一会儿十个外卖小哥都来了，于是这位老兄说：“外卖送给你们吃，吃完麻烦各位兄弟帮我把车推上来、、、、于是一伙人一会儿了就把问题解决了。

你看，对于同一个问题只要你换个思维方式问题总是可以达到理想的效果。解决高数题是这样，解决生活难题也是这个道理。

高数的源头是哲学，站在他面前我不过就是一个在海滩捡贝壳的小孩子而已，不同的是，我呢具有更多的好奇心而已，看见好看的贝克不仅要捡回来还要探索聆听一下它身上的精彩故事，而我就负责把它带给我的快乐和故事，传递给更多的人。