高等数学概要 - 衍生工具和差分

考点一：导数的定义

函数在一点处的导数

例题

单侧导数

（1）左导数

（2）右导数

充要条件

例题

笔记

1. 判断函数在某一点处可导性的方法： 极限存在，说明函数可导
2. 判断函数连续吗？可导吗？方法有两种： 方法一：求极限、求导 方法二：画图像（图像有尖点的函数都是不可导的）
3. 把lim式子里所有的f去掉，算出来是几，就等于几倍的导

考点二：可导与连续的关系

知识点

例题

答案：C. 充分必要条件

笔记

1. 可导一定连续，连续不一定可导
2. 若A能推出B，A是B的充分条件，B是A的必要条件
3. 连续是可导的必要条件
4. 若原命题正确，则它的逆否命题也是正确的，例如： 可导 推出 连续 不连续 也能推出 不可导

考点三：导数的几何意义

知识点

切线方程、法线方程

例题

笔记

1. 某一点处的导表示在该点处的切线斜率
2. 直线方程：y-y0=k(x-x0)。其中，点表示 （x0,y0），k表示 斜率
3. 切线也是直线
4. 若切线和法线是相互垂直的，斜率相乘 = -1（k1 × k2=-1）
5. 若两条直线平行，斜率相等

考点四：导数的基本公式及四则运算法则

基本初等函数的导数公式

求导法则

笔记

1. 基本初等函数的导数公式：死记硬背
2. 求导法则：死记硬背

考点五：求复合函数的导数

定理

例题

考点六：求隐函数的导数

定义

方法

例题

笔记

1. 隐函数是相对于显函数来说的
2. y=x+1 是一个显函数
3. 解式子的时候，要把y’放在等式的一边，不含y’的放在等式的另一边
4. 如果解隐函数式子到最后的时候与其他选项不一样（选择题），就要用原方程化简

考点七：求幂指函数的导数

幂指函数

求导方法

例题

笔记

1. 两种解法：
   方法一：对数求导法（先两边同时取对数，取完对数后在两边对x进行求导，解出y’）
   方法二: 恒等变形（u^v = e^vlnu）

考点八：求由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

求导方法

例题

笔记

1. 参数方程求导就是分子分母同时除以dt
2. 二阶导实际上就是对一阶导函数再对x求导
3. dy/dt是y对t求导，dx/dt是x对t求导
4. 求具体点处的导，先求函数导，再把具体的点往里面带
5. cosx2-sinx2 = 1
6. 想求二阶导，得先求一阶导

考点九：高阶导数

定义

例题

求n阶导的一般方法

例题

常见函数的高阶导数

例题

笔记

1. (1/v)’ = -(v’/v^2)（由除法法则推导的公式）
2. y’ 表示 一阶导，y’’ 表示 二阶导，y’’’ 表示 三阶导，y^(n) 表示 n阶导
3. 对于幂函数，只要阶次比幂次高，值都是0，例如：(x5)(7)求7阶导 = 0

考点十：函数的微分

知识点

例题

笔记

1. 一个函数可微分 实际上 就是可求导
2. u^v = e^vlnu