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正态反伽马分布 NIG

最编程 2024-04-13 14:09:51
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目录

  • Γ \Gamma Γ 函数
  • Γ \Gamma Γ 分布
    • 含义
    • 概率密度函数
  • 逆 Γ \Gamma Γ 分布
  • 正态逆 Γ \Gamma Γ 分布
  • 正态逆高斯分布
  • 参考链接

Γ \Gamma Γ 函数

Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha)= \int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx Γ(α)=∫0+∞​xα−1e−xdx

Γ \Gamma Γ 分布

含义

  • 指数分布解决的问题是：要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间1
  • 伽玛分布解决的问题是：要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间
  • 伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总，即： n 个 E x p o n e n t i a l ( λ ) n个Exponential(λ) n个Exponential(λ)随机变量 → Γ ( n , λ ） \rightarrow \Gamma(n,λ） →Γ(n,λ）
  • 泊松分布解决的是：在特定时间里发生n个事件的机率，因此可以理解为“伽玛分布=指数分布＊泊松分布”

概率密度函数

随机变量 X X X为一件事发生 α α α次所需要的时间，即 X ∼ Γ ( α , β ) X\sim \Gamma(\alpha,\beta) X∼Γ(α,β)，其中 α α α为形状参数（shape parameter），表示事件发生的次数， β β β为尺度参数（scale parameter），表示一次事件发生的频率

密度函数为：
f ( x , β , α ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e x p ( − β x ) f(x,\beta,\alpha)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}exp(-\beta x) f(x,β,α)=Γ(α)βα​xα−1exp(−βx)

均值和方差为：
μ = α β \mu =\frac{\alpha}{\beta} μ=βα​

σ 2 = α β 2 \sigma^2 =\frac{\alpha}{\beta^2} σ2=β2α​

特殊形式：

当 α > 1 \alpha>1 α>1时为指数分布2， f ( x , β , α ) = β Γ ( 1 ) x 0 e x p ( − β x ) = β ⋅ e x p ( − β x ) f(x,\beta,\alpha)=\frac{\beta}{\Gamma(1)}x^{0}exp(-\beta x)=\beta·exp(-\beta x) f(x,β,α)=Γ(1)β​x0exp(−βx)=β⋅exp(−βx)

t=0:0.1:20;
y=gampdf(t,1,0.5);
plot(t,y);
hold on
y=gampdf(t,2,0.5);
plot(t,y);
y=gampdf(t,3,0.5);
plot(t,y);
y=gampdf(t,5,1);
plot(t,y);
y=gampdf(t,9,2);
plot(t,y);
legend('alpha=1,beta=0.5','alpha=2,beta=0.5','alpha=3,beta=0.5',...
    'alpha=5,beta=1','alpha=9,beta=2')
axis([0 16 0 1])

在这里插入图片描述

逆 Γ \Gamma Γ 分布

若 θ − 1 \theta ^{-1} θ−1满足参数为 α ， β \alpha ，\beta α，β的 Γ \Gamma Γ分布，则 θ \theta θ满足逆 Γ \Gamma Γ分布，记为 X ∼ I G ( α , β ) X\sim IG(\alpha ,\beta) X∼IG(α,β)，逆 Γ \Gamma Γ 分布是正态方差的共轭先验分布

θ ∼ I n v − G a m m a ( α , β ) \theta \sim Inv-Gamma(\alpha,\beta) θ∼Inv−Gamma(α,β)

p ( θ ) ∼ I n v − G a m m a ( θ ∣ α , β ) p(\theta) \sim Inv-Gamma(\theta|\alpha,\beta) p(θ)∼Inv−Gamma(θ∣α,β)

s h a p e ： α > 0 ， s c a l e ： β > 0 shape：\alpha>0，scale：\beta>0 shape：α>0，scale：β>0

p ( θ ) = β α Γ ( α ) θ − α − 1 e x p ( − β x ) p(\theta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\theta^{-\alpha-1}exp( -\frac{\beta}{x}) p(θ)=Γ(α)βα​θ−α−1exp(−xβ​)

E ( θ ) = β α − 1 E(\theta) =\frac{\beta}{\alpha-1} E(θ)=α−1β​

V a r ( θ ) = β 2 ( α − 1 ) 2 ( α − 2 ) Var(\theta) =\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} Var(θ)=(α−1)2(α−2)β2​

m o d e ( θ ) = β α + 1 mode(\theta) =\frac{\beta}{\alpha+1} mode(θ)=α+1β​

正态逆 Γ \Gamma Γ 分布

Normal-inverse gamma distribution 又称 normal-scaled inverse gamme distriution，是正态分布的先验分布

PDF（概率密度函数）：
P r ( μ , σ 2 ) = γ σ 2 π β α Γ [ α ] ( 1 σ 2 ) α + 1 e x p [ − − 2 β + γ ( δ − μ ) 2 2 σ 2 ] Pr(\mu,\sigma^2)=\frac{\sqrt\gamma}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma[\alpha]}(\frac{1}{\sigma^2})^{\alpha+1}exp[-\frac{-2\beta+\gamma(\delta-\mu)^2}{2\sigma^2}] Pr(μ,σ2)=σ2π ​γ ​​Γ[α]βα​(σ21​)

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