经典论文翻译--四旋翼飞行器的最小捕捉轨迹生成与控制
最编程
2024-04-15 17:58:59
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坐标系统包括世界坐标系W和机体坐标系$\Beta $，和旋翼编号规定在图一中显示。因为我们想要控制意味着原理平衡态，为了避免奇异，我们使用旋转矩阵来表示坐标朝向（现在一般用四元数来表示姿态，这一块的思想可以借鉴）。我们也使用Z-X-Y欧拉角定义横滚角、俯仰角、偏航角（r,p,y）作为本地坐标系统。从B至W的旋转矩阵通过 w R B = w R C ⋅ C R B ^{w}R_{\Beta }=^{w}R_{C}\cdot^{C}R_{\Beta } wRB=wRC⋅CRB 来表示， W R C ^{W}R_{C} WRC代表偏航角旋转至中间坐标系 C R B ^{C}R_{\Beta } CRB代表roll和pitch的效果。机器人角速度记做 w b W w_{bW} wbW，记B在W中的角速度和p、q、r分量在机载坐标系中的分量为：
w b W = p X B + q Y B + r z B w_{bW}=pX_{\Beta }+qY_{\Beta }+rz_{\Beta } wbW=pXB+qYB+rzB
每个电机有角速度 w i w_{i} wi，产生一个力 F i F_{i} Fi和 M i M_{i} Mi，关系为：
F i = k F w i 2 F_{i}=k_{F}w_{i}^{2} Fi=kFwi2
M i = k M w i 2 (1) M_{i}=k_{M}w_{i}^{2}\tag1 Mi=kMwi2(1)
实际上，本文认为电机动力学与刚体动力学和气动学相比是相当快的，在本文的工作中认为其目前可以即刻生效的（电机可以立刻到达指定转速）。因此控制输入记做 u， u 1 u_{1} u1是净升力， u 2 u_{2} u2、 u 3 u_{3} u3、 u 4 u_{4} u4是机体力矩可以通过电机转速表示为
u = [ k F k F k F k F 0 k F L 0 − k F L − k F L 0 k F 0 k M − k M k M − k M ] [ w 1 2 w 2 2 w 3 2 w 4 2 ] (2) u=\left [\begin{matrix}k_{F}& k_{F}&k_{F}&k_{F}\\ 0& k_{F}L&0&-k_{F}L\\-k_{F}L&0&k_{F}&0\\k_{M}&-k_{M}&k_{M}&-k_{M}\end{matrix} \right ]\left[\begin{matrix} w_{1}^{2}\\w_{2}^{2}\\w_{3}^{2}\\w_{4}^{2}\end{matrix}\right] \tag2 u=⎣⎢⎢⎡kF0−kFLkMkFkFL0−kMkF0kFkMkF−kFL0−kM⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡w12w22w32w42⎦⎥⎥⎤(2)
其中L是电机旋转中心到电机中心的距离。
世界坐标系下的质量中心的位置向量记做 r r r。系统受力为 − z w -z_{w} −zw方向上的重力，和每个电机的合力在 z B z_{\Beta } zB方向上的 u 1 u_{1} u1。牛顿方程为：
m r ¨ = − m g z W + u 1 z B m\ddot{r}=-mgz_{W}+u_{1}z_{\Beta } mr¨=−mgzW+u1zB
角加速度由欧拉等式确定：
w ˙ B W = I − 1 [ − w B W ∗ I w B W [ u 2 u 3 u 4 ] ] (3) \dot{w}_{\Beta W}=I^{-1}\left[-w_{\Beta W}*Iw_{\Beta W} \left[\begin{matrix}u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{matrix}\right]\right] \tag3 w˙<
w b W = p X B + q Y B + r z B w_{bW}=pX_{\Beta }+qY_{\Beta }+rz_{\Beta } wbW=pXB+qYB+rzB
每个电机有角速度 w i w_{i} wi，产生一个力 F i F_{i} Fi和 M i M_{i} Mi，关系为：
F i = k F w i 2 F_{i}=k_{F}w_{i}^{2} Fi=kFwi2
M i = k M w i 2 (1) M_{i}=k_{M}w_{i}^{2}\tag1 Mi=kMwi2(1)
实际上，本文认为电机动力学与刚体动力学和气动学相比是相当快的，在本文的工作中认为其目前可以即刻生效的（电机可以立刻到达指定转速）。因此控制输入记做 u， u 1 u_{1} u1是净升力， u 2 u_{2} u2、 u 3 u_{3} u3、 u 4 u_{4} u4是机体力矩可以通过电机转速表示为
u = [ k F k F k F k F 0 k F L 0 − k F L − k F L 0 k F 0 k M − k M k M − k M ] [ w 1 2 w 2 2 w 3 2 w 4 2 ] (2) u=\left [\begin{matrix}k_{F}& k_{F}&k_{F}&k_{F}\\ 0& k_{F}L&0&-k_{F}L\\-k_{F}L&0&k_{F}&0\\k_{M}&-k_{M}&k_{M}&-k_{M}\end{matrix} \right ]\left[\begin{matrix} w_{1}^{2}\\w_{2}^{2}\\w_{3}^{2}\\w_{4}^{2}\end{matrix}\right] \tag2 u=⎣⎢⎢⎡kF0−kFLkMkFkFL0−kMkF0kFkMkF−kFL0−kM⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡w12w22w32w42⎦⎥⎥⎤(2)
其中L是电机旋转中心到电机中心的距离。
世界坐标系下的质量中心的位置向量记做 r r r。系统受力为 − z w -z_{w} −zw方向上的重力，和每个电机的合力在 z B z_{\Beta } zB方向上的 u 1 u_{1} u1。牛顿方程为：
m r ¨ = − m g z W + u 1 z B m\ddot{r}=-mgz_{W}+u_{1}z_{\Beta } mr¨=−mgzW+u1zB
角加速度由欧拉等式确定：
w ˙ B W = I − 1 [ − w B W ∗ I w B W [ u 2 u 3 u 4 ] ] (3) \dot{w}_{\Beta W}=I^{-1}\left[-w_{\Beta W}*Iw_{\Beta W} \left[\begin{matrix}u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{matrix}\right]\right] \tag3 w˙<
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