正弦函数公式的基本推导

以前背过正弦函数的求导公式，就是sin'x = cos x，可是总也没推导过。这两天看了很多网上的推导做法，简直是误人子弟。含糊不清的，曲线救国的，各种做法满天飞，也是好笑。在这儿，我尽量地再仔细地推导一遍，本着“为往圣继绝学”的远大理想，为伟大的科普事业添砖加瓦罢。

函数式求导公式的推导是有一个基本原则的：用极限的手段，推导函数式在自变量变化的同时，因变量的变化趋势。用几何中的说法就是，导式就是斜率的函数式。

废话不多说，以下正弦函数的求导公式证明，会用到导数的定义、三角函数的部分推导式、三角函数的几何特性和高等数学的夹逼定理等手段，来做一次“步骤无跳跃”的推导。

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第一阶段的推导：

上图中第一行是求导公式的定义，第二行是借助了三角函数的和差化积公式（如下）
第三行是简单化简，第四行推导的理由是第三行中的因式可如下推导
至此，第一阶段推导的结果归结到求下式的值这个式子的值等价于这个式子中除了△x外并没有其他变量，所以这个式子的值是一个常数（其实就是sin’(0)的值）。求得这个常数，就能得到正弦公式的导式了，我们把这个求值过程交给第二阶段来做。

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第二阶段的求解：

其实第一阶段最后的式子，是需要使用夹逼定理和一些几何特性来证明的，不可以用任何微积分的结果来证明这个式子的值。

我不重复解释夹逼定理了，直接搬来维基的答案，如下：

怎么样，这份答案够详细了吧。不过啊不过，这份维基的推导中，有一行，我是无论如何都没弄明白为啥会直接列出来，就是那句arcAD<AE。我眼神不好，这个弧AD看起来好像是比线段AE短的，但是数学猜想才能靠直觉，这里是数学求解，这是不可以用直觉来得结果的。

那么，有没有严谨的做法来证明：当0<θ<π/2时，线段AE比弧AD长。请大家来继续看最后一阶段的证明好了。

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第三阶段的证明（感谢Steven_Tseng提供的帮助）：

三角形OAD的面积是

三角形OAE的面积是
扇形OAD的面积是
三者的大小关系是：三角形OAD < 扇形OAD < 三角形OAE，即：

所以，sinθ<θ<tanθ。
又arcAD = r * θ，AE = r * tanθ，所以arcAD < AE。于是，以上得证。

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The end.