画布与数学] 正弦函数 y=sin(x) 的图像
最编程
2024-04-22 09:43:10
...
【点评】
y=sin(x)是正弦曲线,它是奇函数,零点在nPI.
若x存在系数,则系数大于1会使曲线变得密集,小于1会使曲线变得稀疏。
【图像】
y=sin(x)
y=sin(2x) 可以看出零点变密集了。
y=sin(x/2) 可以看出零点变稀疏了。
【代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head> <title>16.正弦函数y=sin(x) 图示</title> <style type="text/css"> .centerlize{ margin:0 auto; border:0px solid red; width:1200px;height:600px; } </style> </head> <body onload="draw();"> <div class="centerlize"> <canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;"> 如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas,请更换浏览器再试. </canvas> </div> </body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来,粘贴到文本编辑器中, * 另存为.html文件,再用chrome浏览器打开,就能看到实现效果。 ******************************************************************/ // 画布宽度 const WIDTH=1200; // 画布高度 const HEIGHT=600; // 画布环境 var context=0; // 缩放比例 const ScaleUnit=50; // 舞台对象 var stage; // 消逝的时间 var timeElapsed=0; // 核心勾画函数,由body_onload调用 function draw(){ // 画图前初始化 var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH; canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换 // 处置完成前,原点在左上角,向右为X正向,向下为Y的正向 // 处置完毕后,原点移动到画布*,向右为X正向,向上为Y的正向 context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2); context.rotate(getRad(180)); context.scale(-1,1); // 之后再移动原点和改变横纵比例 // 进行坐标原点的平移 //context.translate(0,0); // 进行横纵方向的比例转换 //context.scale(1,1); // 初始化舞台 stage=new Stage(); // 开始动画 animate(); }; //------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1 stage.update(timeElapsed); stage.paintBg(context); stage.paint(context); if(timeElapsed<2000){ window.requestAnimationFrame(animate); } } //------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){ var obj=new Object; obj.prpty={"x":-10,"y":0,"pts":[],"max":-10,"min":10}; // 随时间更新位置 obj.update=function(t){ // xy值是如何变化的 obj.prpty.x+=0.01; obj.prpty.y=Math.sin(obj.prpty.x); // 取极值 if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){ obj.prpty.min=obj.prpty.y; } if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){ obj.prpty.max=obj.prpty.y; } // 放入数组 let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y}; this.prpty.pts.push(arr); }; // 画前景 obj.paint=function(ctx){ // 写当前点坐标 drawText(ctx,"当前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+" Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),300,85,"navy",18); // 写极值 drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+" min:"+this.prpty.min.toFixed(3),300,65,"navy",18); // 红色曲线y=1.1^x paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts); }; // 画背景 obj.paintBg=function(ctx){ // 清屏 ctx.clearRect(-600,-300,1200,600); // 画X轴 drawAxisX(ctx,-600,600,50); // 画Y轴 drawAxisY(ctx,-300,300,50); // 画网格线 drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey"); // 作者,日期 drawText(ctx,"正弦函数y=sin(x)图示",-500,-160,"navy",18); drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16); drawText(ctx,"2023/9/16",-500,-220,"navy",16); }; return obj; } // 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI); ctx.fillStyle=color; ctx.fill(); ctx.stroke(); ctx.restore(); } // 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle=color; ctx.fillStyle=color; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x1,y1); ctx.lineTo(x2,y2); ctx.stroke(); ctx.closePath(); ctx.restore(); } // 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ ctx.strokeStyle = color; ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){ let y=cds[i].y; ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit); } ctx.stroke(); ctx.closePath(); } // 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.25; ctx.strokeStyle='navy'; ctx.fillStyle='navy'; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(start, 0); ctx.lineTo(end, 0); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10); ctx.lineTo(end, 0); ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; y=5; for(x=start;x<end;x+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, 0); ctx.lineTo(x, y); ctx.stroke(); ctx.closePath(); drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12); } ctx.restore(); } // 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle='navy'; ctx.fillStyle='navy'; // 画轴 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0, start); ctx.lineTo(0, end); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画箭头 ctx.beginPath(); ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.lineTo(0, end); ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10); ctx.stroke(); ctx.closePath(); // 画刻度 var x,y; x=5; for(y=start;y<end;y+=step){ ctx.beginPath(); ctx.moveTo(x, y); ctx.lineTo(0, y); drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12); ctx.stroke(); ctx.closePath(); } ctx.restore(); } // 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){ ctx.save(); ctx.lineWidth=0.5; ctx.strokeStyle=color; ctx.fillStyle=color;上一篇: 用着色器编写完美波形
下一篇: 使用 LSTM 预测正弦波
推荐阅读
画布与数学] 正弦函数 y=sin(x) 的图像
卷积的意义--我见过最生动易懂的解释--就是在图像处理中,将两组分辨率不同的图像进行卷积处理,从而形成易于处理的平滑图像。卷积甚至可以用在考试作弊中,为了让照片中的两个人同时像,只要对两个人的图像进行卷积处理就可以了,这是一种平滑处理,但我们如何才能真正把这个公式与实际建立一种联系,也就是说我们能不能从生活中找到一个很方便具体的例子来表达这个公式的物理意义呢? 有一个七品县令,喜欢打骂无赖,并有一个惯例:只要不犯大罪,只打一顿就放他回家,以示爱民如子。 有一种无赖,想扬名立万却又不抱多大希望,心想:既然扬不了好名,出了臭名也成啊。怎样才能出恶名呢?炒作!怎么炒作?找名人!他自然而然地想到了自己的长官--县令。 无赖于是在光天化日之下,站在县衙门口撒了泡尿,后果可想而知,自然是被请进堂上挨了板子,然后昂首挺胸地回家,躺了一天,哎!身体并无大碍!第二天照样如此,全然不顾行政长管的仁慈和衙门的尊严,第三天、第四天 ......每天去县衙领板子回来,还兴高采烈,坚持了一个月之久!这个无赖的名声像衙门口的臭气一样传遍了八方! 县太爷噤了噤鼻子,愣愣地望着惊堂木案,皱了皱眉头,思考着一个问题:这三十块大木板怎么会不好用呢?......想想也是,当年这位大人金榜题名的时候,我数学考了满分,所以这道题至少今天得解出来: --人(系统!)会怎么样(系统!)之后会怎么样(输出!)人(系统!)被打之后会怎么样? --有什么用,很疼! --我问的是:会发生什么? --取决于有多疼。就像这个无赖的体质,每天挨一板什么事都不会发生,连哼哼两声都不行,你看他那得意洋洋的样子(输出 0);如果一次连打他十板,他可能会皱着眉头,咬着牙,硬是不哼一声(输出 1);打到二十板,他会疼得脸都变形了,像猪一样哼哼唧唧(输出 3);打到三十板,他可能会像驴一样嚎叫,一把鼻涕一把泪,求你饶他一命(输出 5);打到四十板,他会大小便失禁,勉强哼哼(输出 1);打到五十板,他连哼哼都不能哼一下(输出 0)--死! 县官摊开坐标纸,绘制了一条以挨打次数为 X 轴、哼唱程度(输出)为 Y 轴的曲线: --"呜呼!这条曲线就像一座山,想不通,想不通。为什么那个无赖被打了三十天也不喊救命? --哦,你打的时间间隔(Δτ=24小时)太长了,这样无赖一天承受的痛苦程度,没有叠加,始终是个常数;如果缩短时间间隔(建议Δτ=0。5 秒),那么他的疼痛程度就可以迅速叠加;等到无赖挨了三十下(t=30)时,疼痛程度已经达到他叫喊能力的极限,就会收到最好的惩戒效果,再多挨几下也不会手下留情。 --还是不太明白,为什么疼痛程度会在小时间间隔内叠加? --这跟人(线性时变系统)对木板(脉冲、输入、激发)的反应有关。什么是响应?人收到板子后,疼痛的感觉会在一天内(假设,因人而异)慢慢消失(衰减),而不是突然消失。这样,只要中风的时间间隔较小,每次中风造成的疼痛就没有时间完全衰减,都会对最终的疼痛程度产生不同的影响: t 块大板造成的疼痛程度 = Σ(第 τ 块大板造成的疼痛程度 * 衰减系数)[衰减系数是 (t - τ) 的函数,请仔细品味] 数学表达式为:y(t) = ∫T(τ)H(t-τ)
玩转数学!解析sin(1/x)函数的曲线图像
深入理解三角函数图象、性质及其对 y = A sin(ωx + φ) 图像的影响
F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面