还不了解动态编程？一个经典问题将帮你理清动态编程的五个部分。

前言

本篇文章是作者在学习动态规划算法时的总结，如果有一些不正确的地方欢迎在评论区指正。假如您也和我一样，在准备春招。欢迎加我微信shunwuyu ，这里有几十位一心去大厂的友友可以相互鼓励，分享信息，模拟面试，共读源码，齐刷算法，手撕面经。来吧，友友们！”

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])。但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。所以贪心解决不了动态规划的问题。

而且很多讲解动态规划的文章都会讲最优子结构啊和重叠子问题啊这些，这些东西都是教科书的上定义，晦涩难懂而且不实用。大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，就够基本的用了。

动态规划的解题步骤

做动规题目的时候，很多人会陷入一个误区，就是以为把状态转移公式背下来，照葫芦画瓢改改，就开始写代码，甚至把题目AC之后，都不太清楚dp[i]表示的是什么。这就是一种朦朦懂的状态，然后就把题给过了，遇到稍稍难一点的，可能直接就不会了，然后看题解，然后继续照葫芦画瓢陷入这种恶性循环中。

状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？

因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

可能刷过动态规划题目的同学可能都知道递推公式的重要性，感觉确定了递推公式这道题目就解出来了。其实确定递推公式仅仅是解题里的一步而已！一些同学知道递推公式，但搞不清楚dp数组应该如何初始化，或者正确的遍历顺序，以至于记下来公式，但写的程序怎么改都通过不了。

动态规划应该如何寻找错误

相信动规的题目，很大部分同学都是这样做的。看一下题解，感觉看懂了，然后照葫芦画瓢，如果能正好画对了，万事大吉，一旦要是没通过，就怎么改都通过不了，对 dp数组的初始化，递推公式，遍历顺序，处于一种黑盒的理解状态。

写动规题目，代码出问题很正常！

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

大部分人对于dp的学习，就是不清楚dp数组的含义，不懂为什么这么初始化，递推公式背下来了，遍历顺序靠习惯就是这么写的，然后一鼓作气写出代码，如果代码能通过万事大吉，通过不了的话就凭感觉改一改。

做题前先模拟

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

出差了先问问自己

• 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
• 我打印dp数组的日志了么？
• 打印出来了dp数组和我想的一样么？

如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了。

题目例子

斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。

通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。

动规五部曲

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3. dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

4. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖dp[i - 1]和dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了，代码如下：

var fib = function(n) {
    let dp = [0, 1]
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    console.log(dp)
    return dp[n]
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。

代码如下：

var fib = function(n) {
    // 动规状态转移中，当前结果只依赖前两个元素的结果，所以只要两个变量代替dp数组记录状态过程。将空间复杂度降到O(1)
    let pre1 = 1
    let pre2 = 0
    let temp
    if (n === 0) return 0
    if (n === 1) return 1
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        temp = pre1
        pre1 = pre1 + pre2
        pre2 = temp
    }
    return pre1
};