[物理笔记] 天体运动

最编程 2024-04-18 22:36:54

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说明

角度除了有特殊说明，否则均用弧度制表示。
内容来自 HuangFuRen。

天体运动

物理学史

人物	事情	成就
第谷	观测数据
开普勒（第谷的学生）	计算数据	提出开普勒三大定律
牛顿	分析开普勒第三定律	提出万有引力并发现 \(F_\text{万}\propto\large\frac{Mm}{r^2}\)
卡文迪许	扭秤实验	计算得到 \(F_\text{万}=G\large\frac{Mm}{r^2}\) 中的 \(G\) 的值

开普勒三大定律

开普勒第一定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

开普勒第三定律：行星公转周期的平方与其轨道的半长轴的三次方成正比。

开普勒三大定律适用于所有天体。

事实上，高中阶段有时会把椭圆轨道近似看作圆轨道。

开三写成数学语言即：\(\large\frac{a^3}{T^2}\normalsize=k\)，其中 \(k\) 是个定值，与中心天体有关。

例：金星与地球的中心天体均是太阳，所以它们的 \(k\) 值相同。月球与人造卫星的中心天体均是地球，所以它们的 \(k\) 值相同。而金星与月球的中心天体不同，所以它们的 \(k\) 值不同。

万有引力定律

公式：\(F_\text{万}=G\large\frac{Mm}{r^2}\)。其中 \(M,m\) 分别为两物体各自的质量，\(r\) 为质心间距，\(G\) 为引力常数，其值为 \(6.67\times10^{-11}\large\frac{N\cdot m^2}{kg^2}\)。

例：

两材质相同的球体，其中大球的质量为 \(m\)，其半径为 \(R\)；小球的半径是大球的一半。现在两球之间的距离为 \(d\)，求 \(F_\text{万}\)。

解：

\(\because\) 两球材质相同，\(\therefore\) 质量与体积成正比。

根据球体体积公式：\(V_\text{球}=\frac{4}{3}\pi r^3\) 可知质量与半径的三次方成正比。

\(\therefore\) 小球质量为 \(\frac{1}{8}m\)。

代入公式可得：\(F_\text{万}=G\large\frac{\frac{1}{8}m^2}{(R+\frac{1}{2}R+d)^2}\normalsize=G\large\frac{\frac{1}{8}m^2}{(\frac{3}{2}R+d)^2}\)。

例：

如图一个质量为 \(m\) 半径为 \(R\) 的小球被挖了一个半径为该球的半径的一半的小球，放在了与该球距离为 \(d\) 的位置，求 \(F_\text{万}\)。

解：

割补法。求出实心大球与小球的万有引力再减去空白部分对小球的万有引力即可。

\[\begin{aligned} F_\text{万总}&=G\frac{m\cdot\frac{1}{8}m}{(R+\frac{1}{2}R+d)^2}\\ F_\text{万空白}&=G\frac{\frac{1}{8}m\cdot\frac{1}{8}m}{(\frac{1}{2}R+\frac{1}{2}R+d)^2}\\ F_\text{万阴影}&=F_\text{万总}-F_\text{万空白} \end{aligned} \]

前提

定义

根据 HuangFuRen，天体运动分为两类：

天上：物体在天上并转动。
人间：不是天上。

几个物理量的定义：

\(R\)：星球半径
\(r\)：轨道半径、质心间距（这两者本质上相同）
\(h\)：轨道高度（星球表面与轨道的距离）

依此定义有：\(r=R+h\)。

如果宇航员在航天器上作各种实验：测量 \(g\) 的值。

区分三类加速度

加速度：\(a=\large\frac{F_{合}}{m}\normalsize\)
向心加速度：\(a_\text{向}=\large\frac{F_{向}}{m}\normalsize\)
重力加速度：\(g=\large\frac{G}{m}\normalsize\)

\(F_\text{万}\) 根据物体的不同状态（天上/人间）充当不同的角色。

天上：\(F_\text{万}=F_\text{向}\)。

人间：\(F_\text{万}=G\)。

\(\vec{F_\text{万}}=\vec{G}+\vec{F_\text{向}}\)

公式

基础公式：\(V_\text{球}=\frac{4}{3}\pi r^3\)

天上

以下公式针对于圆轨道。

\(F_\text{合}=F_\text{向}=F_\text{万}\)
\(G\large\frac{Mm}{r^2}\normalsize=m\large\frac{v^2}{r}\normalsize\ \Rightarrow\ v=\large\sqrt{\frac{GM}{r}}\)
\(G\large\frac{Mm}{r^2}\normalsize=m\omega^2r\ \Rightarrow\ \omega=\large\sqrt{\frac{GM}{r^3}}\)
\(a=v\omega=\large\frac{GM}{r^2}\normalsize\)
\(T=\large\frac{2\pi}{\omega}\normalsize=2\pi\large\sqrt\frac{r^3}{GM}\normalsize\ \Rightarrow\ T^2MG=4\pi^2r^3\)（名场面：踢踢母鸡等于死派派啊啊啊。（19:55））

人间

\(G\large\frac{Mm}{r^2}\normalsize=mg\ \Rightarrow\ MG=r^2g\)（名场面：看见小鸡想母鸡，母鸡等于啊啊鸡。（22:23））

注：\(MG=R^2g\) 本质上与该公式相同。因为 \(R\) 指星球半径，也可理解成该物体此时在星球表面，此时 \(r=R\)。

三大宇宙速度

第二宇宙速度：\(11.2km/s\)，当航天器达到第二宇宙速度时，可以脱离地球万有引力的束缚。

第三宇宙速度：\(16.7km/s\)，当航天器达到第三宇宙速度时，可以脱离太阳万有引力的束缚。

第一宇宙速度：\(7.9km/s\)，最小发射速度，最大绕地球飞行速度。

强调加粗部分。计算过程如下：

我们首先有：\(v=\large\sqrt{\frac{GM}{r}}\normalsize=\large\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\normalsize\)。

显然 \(h\) 的最小值为 \(0\)，此时航天器绕地球表面飞行，这时航天器有最大速度 \(v=\large\sqrt{\frac{GM}{R}}\normalsize\)，显然此时 \(r=R\)。

将相关数据代入可得：\(v=7.9km/s\)。

有时也将公式写作：\(v=\large\sqrt{\frac{GM}{R}}\normalsize=\large\sqrt{\frac{r^2g}{R}}\normalsize=\sqrt{gR}\)，此时是贴表飞行的速度，也是能绕星球作圆周运动的最大速度。

题型

天上人间
[现] HuangFuRen
高轨低速大周期，
椭圆速度在两极。
点火加速 \(a\) 不变，
同步卫星看地面。

圆轨道比大小

高轨低速大周期

适用范围：

天上
作圆周运动
一个万有引力对应一个向心力（即不能有多个星球）
同一个中心天体

内容：

考虑天上的公式，当 \(r\uparrow\) 时，可得：\(v,\omega,a\downarrow\ ;\ T\uparrow\)。

注意：

同步卫星绕地球运动的周期为 \(1\) 天，月球绕地球运动的周期为 \(1\) 个月（\(27.3217\) 天），因此 \(r_\text{月球}\) 大于 \(r_\text{同步卫星}\)。

同步卫星

同步卫星看地面

同步卫星：相对于赤道静止的卫星。高度：\(r=42400\ \text{km},h=36000\ \text{km}\)。

结论：同步卫星绕地球运动的周期等于地球自转的周期，同步卫星与地球的 \(\omega\) 相等。

例：

如图，\(A\) 是地球赤道上一点，\(B\) 是一颗卫星，\(C\) 是一颗同步卫星，比较 \(A,B,C\) 的 \(\omega,v,a,T\)。

解：

由于 \(A\) 在人间，所以不能使用“高轨低速大周期”，但是 \(B,C\) 均在天上，故可以使用。所以我们先判断 \(B\) 与 \(C\) 的物理量关系。根据 “高轨低速大周期” 可得：\(\omega_B>\omega_C,v_B>v_C,a_B>a_C,T_B<T_C\)。

因为 \(C\) 是同步卫星，\(A\) 是地球赤道上一点，所以有：\(\omega_A=\omega_C,T_A=T_C\)。

根据 \(v=r\omega,a=r^2\omega\) 可得：因为 \(r_A<r_C\)，所以 \(v_A<v_C,a_A<a_C\)。

所以：

\[\begin{aligned} \omega_B&>\omega_C=\omega_A\\ v_B&>v_C>v_A\\ a_B&>a_C>a_A\\ T_B&<T_C=T_A \end{aligned} \]

比值问题

如果出现 \(g\) 则用 \(MG=r^2g\) 去求其他物理量的关系。

中心天体相同

如果不知道半径比，则先用已知量求出半径比再去求题目所问。

例：

在同一中心天体下，已知周期比 \(T_1:T_2\)，求加速度之比。

解：

未知半径之比，先求半径比。

根据开普勒第三定律 \(\large\frac{r^3}{T^2}\normalsize=k\) 可得：

\[\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \frac{r_1^3}{T_1^2}=k\\\\ \frac{r_2^3}{T_2^2}=k\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow\frac{r_1^3}{T_1^2}=\frac{r_2^3}{T_2^2}\Rightarrow\frac{r_1}{r_2}=\sqrt[3]{\frac{T_1^2}{T_2^2}}\\ \end{aligned} \]

由 \(a=\large\frac{GM}{r^2}\normalsize\) 可得：

\[\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} a_1=\frac{GM}{r_1^2}\\\\ a_2=\frac{GM}{r_2^2}\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=\sqrt[3]{\frac{T_1^4}{T_2^4}}\\ \end{aligned} \]

中心天体不同

如果不知道中心天体质量比，则先用已知量求出中心天体比再去求题目所问。

例：

两颗行星各有一个卫星 绕其表面 运行。已知两颗卫星运动周期之比为 \(1:2\)，两行星半径之比为 \(2:1\)，求两行星表面的重力加速度之比。

解：

不知道中心天体质量比，先求质量比。

我们有：

\[\begin{aligned} &\ r_1=R_1,r_2=R_2\\ \therefore&\ \frac{r_1}{r_2}=\frac{R_1}{R_2}=2\\ \therefore &\left\{ \begin{aligned} T_1^2M_1G=4\pi r_1^3\\\\ T_2^2M_2G=4\pi r_2^3 \end{aligned} \right. \Rightarrow\frac{M1}{M_2}=\Large\frac{\frac{r_1^3}{T_1^2}}{\frac{r_2^3}{T_2^2}}\normalsize=\frac{r_1^3T_2^2}{r_2^3T_1^2}=\frac{2^3\cdot2^2}{1^3\cdot1^2}=32\\\\ \therefore &\left\{ \begin{aligned} M_1G=r_1^2g_1\\\\\ M_2G=r_2^2g_1\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow\frac{g_1}{g_2}=\Large\frac{\frac{M_1}{r_1^2}}{\frac{M_2}{r_2^2}}\normalsize=\frac{M_1r_2^2}{M_2r_1^2}=8 \end{aligned} \]

密度问题

\(\rho=\large\frac{M}{V}\normalsize=\large\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\)。

\(M\) 根据题目已知物理量去求。

例：

已知地球半径 \(R\)，表面重力加速度为 \(g\)，火星的半径是地球半径的 \(\frac{1}{2}\)，其质量是地球质量的 \(\frac{1}{9}\)，求火星的密度？

解：

\[\begin{aligned} \because R&=r\\ \therefore\ \rho&=\frac{M_\text{火}}{V_\text{火}}\\ &=\frac{M_\text{火}}{\frac{4}{3}\pi R_\text{火}^3}\\ &=\frac{\frac{1}{9}M_\text{地}}{\frac{4}{3}\pi(\frac{1}{2}R_\text{地})^3}\\ &=\frac{M_\text{地}}{(9\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8})\cdot\pi R_\text{地}^3}\\ &=\frac{\frac{r^2g}{G}}{\frac{3}{2}\pi R_\text{地}^3}=\frac{2R_\text{地}^2g}{3\pi R_\text{地}^3G}\\ &=\frac{2g}{3\pi R_\text{地}G}=\frac{2g}{3\pi RG} \end{aligned} \]

变轨问题

椭圆速度在两极。
点火加速 \(a\) 不变。

卫星如何从低轨道到高轨道？

从 \(p\) 点点火加速进入椭圆轨道。
从 \(q\) 点点火加速进入 \(2\) 号轨道。

Q1：为什么从 \(p\) 点点火加速会使得卫星做椭圆运动？

A1：

在 \(p\) 点点火加速，此时 \(G\large\frac{Mm}{r^2}\normalsize<m\frac{v^2}{r}\normalsize\)，所以作离心运动，从而进入椭圆轨道。

Q2：判断 \(1\) 号轨道、\(2\) 号轨道、\(p\) 点与 \(q\) 点速度大小关系。

A2：

根据“高轨低速大周期”可得 \(v_1>v_2\)。

根据机械能守恒，从 \(p\) 点到 \(q\) 点的过程中，卫星的引力势能增大，动能减小，故 \(v_p>v_q\)。

或者，对卫星在椭圆轨道上的速度与加速度进行分析。因为加速度指向圆心，速度沿切线方向，画图可得加速度与速度的夹角始终大于 \(90^\circ\)，所以从 \(p\) 点到 \(q\) 点卫星作减速运动。故 \(v_p>v_q\)。

因为 点火加速，所以 \(v_p>v_1,v_2>v_q\)。

综上，\(v_p>v_1>v_2>v_q\)。

Q3：判断 \(1\) 号轨道、\(2\) 号轨道、\(p\) 点与 \(q\) 点加速度大小关系。

A3：

根据“高轨低速大周期”可得 \(a_1>a_2\)。

由于 \(1\) 号轨道上的点与地球的距离等于 \(p\) 点与地球的距离，故两者受到的万有引力是相同的，即两者受到的合外力相同，故此时 \(a_p=a_1\)，同理也有 \(a_q=a_2\)。

综上，\(a_p=a_1>a_2=a_q\)。

Q4：判断三个轨道的周期长短关系。

A4：

设 \(d\) 为轨道的长轴的长度，\(r\) 为轨道的半长轴的长度，可知 \(d_1<d_3<d_2\)，所以 \(r_1<r_3<r_2\)。

根据开普勒第三定律可得 \(a^3\propto T^2\)（注意此时 \(a\) 指的是轨道半长轴的长度）。

所以 \(T_1<T_3<T_2\)。

双星运动

形成原因：两个质量相近的星球受到对方万有引力的作用一起做匀速圆周运动。

性质：两星球的 \(\omega\) 相等。

令两星球的质心间距为 \(L\)，易知 \(r_A+r_B=L\)。

对两星球受力分析：

\[\left\{ \begin{aligned} A: G\frac{m_Am_B}{L^2}=m_A\omega^2r_A\ \ \Rightarrow \ \ G\frac{m_B}{L^2}=\omega^2r_A\\ B: G\frac{m_Am_B}{L^2}=m_B\omega^2r_B\ \ \Rightarrow \ \ G\frac{m_A}{L^2}=\omega^2r_B\\ \end{aligned} \right. \]

两式相加可得：

\[\begin{aligned} G\frac{m_B}{L^2}+G\frac{m_A}{L^2}&=\omega^2r_A+\omega^2r_B\\ \frac{G}{L^2}(m_A+m_B)&=\omega^2(r_A+r_B)=\omega^2L\\ Gm_\text{总}&=\omega^2L^3 \end{aligned} \]

观察到该式子所涉及的物理量均与两星球整体有关，故可以两式相加去求得与两星球整体有关的物理量。

两式相除可得：

\[\begin{aligned} \frac{m_B}{m_A}=\frac{r_A}{r_B}\\ \end{aligned} \]

观察到该式子所涉及的物理量均与其中一个星球有关，故可以两式相除去求得与其中一个星球有关的物理量。

多星运动

注意：在多星运动问题中，每一颗星球受到的万有引力不止一个。

多星运动的解题步骤往往是固定的。

这里以三星运动为例。

例：

每个星球质量均为 \(m\)，每两颗星球之间的距离均为 \(d\)，求 \(\omega\)。

解：

对 \(A\) 受力分析可得：

\[\left\{ \begin{aligned} F_B=G\frac{m^2}{d^2}\\ F_C=G\frac{m^2}{d^2}\\ \end{aligned} \right. \]

根据几何知识，可得 \(F_\text{合}=\sqrt{3}G\large\frac{m^2}{d^2}\normalsize\ ,\ r=\large\frac{d}{\sqrt{3}}\normalsize\)。

因为 \(A\) 在做匀速圆周运动，所以 \(F_\text{合}=F_\text{向}\)。

\[\begin{aligned} &\ \sqrt{3}G\frac{m^2}{d^2}=m\omega^2r=m\omega^2\frac{d}{\sqrt{3}}\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{3GM}{d^3}} \end{aligned} \]

注意：\(A,B,C\) 的运动中心为三星整体的质心，所以 \(r\) 指的是三颗星球与整体质心的间距。

质心的找法

先找出任意两颗星球整体的质心与其整体质量，然后将这两颗星球视为整体再次与其他星球一起找整体的质心，直到找到所有星球整体的质心。

例：

如图，\(A,B,C\) 的质量分别为 \(m,m,2m\)，则我们可以先将 \(A,B\) 视为整体，因为 \(m_A=m_B\)，所以将 \(AB\) 平分，取其中点，即为 \(AB\) 整体的质心 \(O_{AB}\)，其质量为 \(m_A+m_B=2m\)。

再将 \(O_{AB}\) 与 \(C\) 视为整体，因为 \(m_{O_{AB}}=2m_C\)，所以将 \(O_{AB}C\) 三等分，取靠近 \(O_{AB}\) 的点，即为 \(ABC\) 整体的质心 \(O_{ABC}\)，其质量为 \(m_{O_{AB}}+m_C=3m\)。

天体追及相遇

把速度小的星球看作静止不动，然后就是用相对路程除以相对速度。

在这里，由于天体做的是匀速圆周运动，故路程为角度，速度为角速度。

剩下的就是小学问题了。

例：

已知 \(\omega_A,\omega_B(\omega_A>\omega_B)\)，\(A,B\) 均按逆时针方向作匀速圆周运动，问什么时候 \(A,B\) 相距最近？

解：

相对路程：\(s=2\pi-\theta+2k\pi(k\in\mathbb{N})\)，相对速度：\(v=\omega_A-\omega_B\)。

所以时间：\(t=\large\frac{s}{v}\normalsize=\large\frac{2\pi-\theta+2k\pi}{\omega_A-\omega_B}\normalsize((k\in\mathbb{N}))\)

相遇问题同理，只是相对速度变成 \(v=\omega_A+\omega_B\)。

人间考虑自转

例：

在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为 \(g_1\)、\(g_2\)，地球自转周期为 \(T\)，万有引力常量为 \(G\)，若把地球看作为一个质量均匀分布的圆球体，求地球的密度。

解：

\(\rho=\large\frac{M}{V}\normalsize=\large\frac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3}\normalsize\)

因为在赤道，万有引力的作用效果不仅包括重力还包括向心力，所以此时万有引力不等于重力；而在地球两极没有自转，故在地球两极万有引力是等于重力的。

\(\therefore MG=R^2g_1\)，即 \(M=\large\frac{R^2g_1}{G}\normalsize\)。

所以我们有：

\[\begin{aligned} \rho&=\frac{\frac{R^2g_1}{G}}{\frac{4}{3}\pi r^3}\\ &=\frac{3R^2g_1}{4\pi R^3G}\\ &=\frac{3g_1}{4\pi RG} \end{aligned} \]

在赤道，因为重力和向心力共线，所以 \(F_\text{万}=F_\text{向}+F_\text{重}\)。

所以我们有：

\[\begin{aligned} G\frac{Mm}{R^2}&=m\omega^2R+mg_2\\ &=m((\frac{2\pi}{T})^2R+g_2)\\ &=m(\frac{4\pi^2}{T^2}R+g_2)\\ \therefore G\frac{M}{R^2}&=\frac{4\pi^2}{T^2}R+g_2\\ \because MG&=R^2g_1\\ \therefore G\frac{M}{R^2}&=\frac{R^2g_1}{R^2}\\ &=g_1\\ \therefore g_1&=\frac{4\pi^2}{T^2}R+g_2\\ g_1-g_2&=\frac{4\pi^2}{T^2}R\\ R&=\frac{(g_1-g_2)T^2}{4\pi^2}\\ \therefore \rho&=\frac{3g_1}{4\pi RG}\\ &=\frac{3g_1}{4\pi\frac{(g_1-g_2)T^2}{4\pi^2}G}\\ &=\frac{3g_1}{\frac{(g_1-g_2)T^2}{\pi}G}\\ &=\frac{3\pi g_1}{(g_1-g_2)T^2G} \end{aligned} \]

人间内部

图片来源：HuangFuRen

解：

当 \(x>=R\) 时，显然 \(F_\text{万}\downarrow\)。

当 \(x<R\) 时，根据题意可得只有图中阴影部分才会对点 \(P\) 有万有引力。

\[\begin{aligned} &\begin{aligned} \therefore F_\text{万}&=G\frac{Mm}{x^2}\\ &=G\frac{\rho Vm}{x^2}\\ &=G\frac{\rho\frac{4}{3}\pi x^3m}{x^2}\\ &=G\frac{4\rho\pi xm}{3}\\ \end{aligned}\\ &\therefore x\uparrow\ ,\ F_\text{万}\uparrow \end{aligned} \]

故选 A。

注：这个结论在电场会经常用到。

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