stata：数据包络分析（DEA）简明教程

数据包络分析（DEA）是是由美国著名运筹学家 A.Charnes（查恩斯）、W.W.Cooper（库铂）、E.Rhodes（罗兹）于 1978 年首先提出，在相对效率评价概念基础上发展起来的一种非参数检验方法。此文章主要介绍如何在stata中进行DEA分析以及进行boostrap检验，用到的命令为tenonradial，teradialbc等。需要说明的是，尽管此命令的运算速度与矩阵的最大处理量要优于dea命令，但是其仍有一些限制。

DEA模型简介

技术效率的概念

在数据包络分析中，技术效率是指一个生产单元（DMU）的生产水平达到该行业技术水平的程度。技术效率可以从投入和产出两个角度来衡量，在投入既定的情况下，技术效率由产出最大化的程度来衡量。在产出既定的情况下，技术效率由投入最小化的程度来衡量。当然，在计算TFP的过程中，一般都是投入既定的。
下面举一个一种投入一种产出时的例子，来帮助我们理解技术效率的概念。

在此表中，$y/x$反应各个生产单元技术效率的高低，$y/x$(标准化)是将各单元的$y/x$除以其中的最大值。这样就是为了更好的比较这一数值。
当涉及多个产出时，就会对各个投入与产出赋予一定的权重，然后分别加权，计算产出投入比。如：
$$v=v_1{x}_1+v_2{x}_2+...+v_n{x}_n$$
$$u=u_1{y}_1+u_2{y}_2+...+u_n{y}_n$$
则产出投入比为$u/v$
数据包络分析就是在讨论如何通过数据本身来获得权重，从而计算各个DMU的技术效率。

径向距离模型

此命令径向效率的度量方法采用的是Debreu–Farrell(Debreu 1951; Farrell 1957)方法。假设有$k$个$DMU$。对于$DM{U}_K$，有$N$种投入，记为$x_k=（x_{k1},...,x_{kN})\in R^N$,有$M$种产出，记为$y_k=（x_{k1},...,x_{kM})\in R^M$。然后我们假设在技术条件$T$下产出$y$由投入$x$产出，数学表达为：
T = { ( x , y ) : y   a r e   p r o d u c i b l e   b y   x } T = \{(x,y):y\ are\ producible\ by\ x\} T={(x,y):y are producible by x}
那么在科技$T$下，生产可能集表示为：
P ( x ) = { y : ( x , y ) ∈ T } P(x) = \{y:(x,y) \in T\} P(x)={y:(x,y)∈T}
投入的需求集表示为：
P ( y ) = { x : ( x , y ) ∈ T } P(y) = \{x:(x,y) \in T\} P(y)={x:(x,y)∈T}
以生产可能集为例，技术效率就表示为，某个给定数据点与生产可能集边界的距离。若以DEA模型来测量此种技术效率从，则对于$k$个$DMU$，每个$DMU$有$N$种投入，$M$种产出的数据集来说。Debreu–Farrell(Debreu 1951; Farrell 1957)的以产出为导向的估计方法，可以通过下述线性规的方程式来表示，对于每一个数据点$k(k=1,2,3...K)$
$$\begin{gathered} F_k^o(y_k,x_k,y,x|CRS)=max\theta \\ s.t.\sum _{k=1}^K{z}_k{y}_{km}\ge y_{km}{\theta }_m,m=1,...,M \\ \sum _{k=1}^K{z}_k{x}_{kn}\le x_{kn}{\theta }_n,n=1,...,N \\ {z}_k\ge 0 \end{gathered}$$
其中$y$是一个$K\times M$的产出矩阵，$x$是一个$K\times N$的投入矩阵。估计$P(x)$是最小