数学建模,运筹学中的整数编程(原理、示例、代码)
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2024-04-20 12:06:14
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数学建模、运筹学之整数规划(原理、例题、代码)
- 一、何为整数规划?
- 二、整数规划与线性规划
- 三、分枝定界法
- 四、0-1整数规划
一、何为整数规划?
- 整数规划具有深远的实际应用价值,因为现实生活中的规划、最优化问题大部分不是实数范围的规划而是整数规划,比如工人的数量、所需多台机器的数量等等。而整数规划并不像看起来那么简单,单纯将线性规划最优解取整得到的甚至都不一定是可行解。因此整数规划需要区分于线性规划独立设计算法解决,目前仍未针对整数规划发现多项式级别的算法。
- 不加特别说明的情况下,我们所说的整数规划实际上是整数线性规划。本文仍旧简称整数规划,因为整数非线性规划所能掌握的规律少之又少。
- 想了解整数规划的定义及含义,我们就需要拿它跟一般线性规划做对比。线性规划的变量取值可以是整数也可以是小数,而整数规划的变量取值部分或者全部限制为整数。因此我们可以理解为:整数规划比一般线性规划缩小了搜索范围,一般线性规划的最优值(最大或者最小)一定等于或者优于整数规划最优值。
- 进而根据整数规划变量取值范围的进一步限定,可以将整数规划划分为:纯整数规划(全部变量取值范围限制为整数)、混合整数规划(部分变量选取值范围限制为整数)、0-1整数规划(全部变量只可取0或1)。
- 整数规划问题不同类型所适用的算法不同。常用求解算法如下:分枝定界法、割平面法、隐枚举法、匈牙利法、蒙特卡洛法。。。
二、整数规划与线性规划
- 线性规划变量的取值范围是实数范围,也就是说最优解所对应的变量取值可以是整数也可以是小数。而整数规划变量的取值范围是整数范围,因此整数规划问题相较于对应的线性规划问题缩小了搜索范围。
- 下面我们来看一下整数规划最优解与其对应的线性规划最优解之间的关系:1.如果线性规划无可行解,那么整数规划同样无可行解。2.如果线性规划最优解变量取值满足整数规划要求,整数规划的最优解同线性规划。3.如果线性规划最优解变量取值不满足整数规划要求,整数规划可能无可行解,也可能有可行解但最优解变差。
三、分枝定界法
- 分枝定界法适用于求解完全整数规划与混合整数规划,混合整数规划相比较而言更加简单,只需要针对非限定为整数的变量不分枝即可。
- 我们首先来了解一下分枝定界法中三个基本操作的含义。分枝:将全部可行解空间分割为越来越小的子集;定界:对于分枝后的每一个子集计算目标函数值得上界与下界;剪枝:根据上下界忽略掉超出界限得部分可行解。下面我们首先通过一个例题,以手写算法得方式来感受一下算法过程。
- 总结来说,分枝定界算法类似于一棵树得生成过程。分枝操作便是向下延申树杈,而算法的终止条件就是这棵树生长到“不能再生长”为止,也就是说树的末端长出了“叶子节点”。那么哪些情况下会生长出叶子节点呢?
- 1.如果某个节点因为超出上下界而发生剪枝,那么该节点就生长为一个叶子节点。2.如果某个节点满足整数规划的要求,那么该节点也生长为一个叶子节点,并且判断、更新当前最大下界。3.如果某个节点无可行解,那么该节点也生长为一个叶子节点。总而言之,叶子节点就是无法再分枝的节点。
- 总结来说,分枝定界法多次计算线性规划,缩小搜索范围,逼近整数规划的最优解。针对线性规划问题我们已经有了高效便捷的算法,因此多次计算线性规划问题解决整数规划问题同样具有效率。
- 最开始先当作线性规划问题求解,得到的最优解作为整数规划最优值的上界。任选解中一个非整数变量,针对其进行分枝,一直分枝到整棵树无法再生长为止。途中遇到符合整数规划的情况,则作为可行解更新最优值的最大下界。当算法停止时,下界就代表整数规划的最大值,也就是此时最优值就是下界值。
- 上图中有两个错误,第一个错误是整数规划最优值的上界不应该更新,应该始终为全局线性规划最优值。第二个错误是最后的结果不应该是由区间夹出来,而是算法停止时下界值就是最优值。
- Lingo代码如下:
model:
max=5*x1+8*x2;
x1+x2<6;
5*x1+9*x2<45;
@gin(x1);
@gin(x2);
end
四、0-1整数规划
- 0-1整数规划顾名思义就是线性规划问题中,变量不仅仅约束为整数,还要约束为0或1的二进制变量,故0-1整数规划也称为二进制规划。
- 0-1整数规划相较于普通的整数规划而言,搜索范围小了很多,每个变量只有0或者1两种取值,给枚举带来了可能。但 2 n 2^n 2n时间复杂度仍然无法实现大规模的完全遍历。因此我们针对0-1整数规划提出了隐枚举法(条件过滤法)。
- 隐枚举法:首先试探性求出一个可行解,以它的目标函数值添加一个过滤条件,小于该目标函数值的解直接舍弃不用审核约束条件。将所有可能的解枚举并从头开始筛选,如果某个解的目标函数值小于过滤条件则不用审核其他约束条件直接舍弃,如果某个解既满足过滤条件又满足约束条件则更新过滤条件。直至枚举所有情况算法结束。
- 总结来说隐枚举法在枚举部分解的过程中,只检查过滤条件而不用检查约束条件。隐枚举法的约束条件分为两部分,其中一条是过滤条件,也就是目标函数知道的要求,其余的是原始约束条件。不满足过滤条件的直接舍弃;满足过滤条件但不满足原始约束条件的不是可行解;同时满足过滤条件和原始约束条件的是当前最优解,用来更新过滤条件。
- Lingo代码如下所示:
model:
max=3*x1-2*x2+5*x3;
x1+2*x2-x3<2;
x1+4*x2+x3<4;
x1+x2<3;
4*x2+x3<6;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
end
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面