个人学习笔记：3Blue1Brown线性代数的核心要点

最编程 2024-01-05 09:16:22

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0. 预览

线性代数的几何直观与数值计算的关系。

1. 向量究竟是什么？

三种观点：

物理学视角：向量是空间中的箭头，由长度和所指方向决定。
计算机视角：有序的数字列表。
数学视角：保证加法和数乘有意义即可。

$\vec{v}+\vec{w}= \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+2 \\ -5+1 \end{bmatrix}$

$2\vec{v}=2\begin{bmatrix}3 \\ -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2(3) \\ 2(-5) \end{bmatrix}$

两种基本运算：向量加法与向量数乘。

数乘：缩放（scaling），将数字称为标量（scalar）。

2. 线性组合、张成的空间与基

基向量。

$a\vec{v}+b\vec{w}$

所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合，被称为给定向量 张成的空间（span）。

张成的空间与线性相关的关系。

例如：

在三维空间中，有两个线性无关的向量，如果添加的第三个线性有关的向量，那么张成的空间始终是一个二维平面。

向量空间的一个 基 是 张成 该空间的一个 线性无关 向量集。

3. 矩阵与线性变换

线性变换：

直线变换后依旧是直线
原点保持固定

只要记录变换后的 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ （基向量），就可以推断出任意向量在变换后的位置。
$\begin{bmatrix}a\quad b \\ c\quad d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax+by \\ cx+dy\end{bmatrix}$
可以将矩阵的列看作变换后的基向量（将矩阵看作空间的变换）。

4. 矩阵乘法与线性变换复合

$\underbrace{\begin{bmatrix}1\quad 1 \\ 0\quad 1\end{bmatrix}}_{\text{Shear剪切矩阵}} \underbrace{\begin{bmatrix}0 \quad -1 \\ 1 \quad 0\end{bmatrix}}_{\text{Rotation旋转矩阵}} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix}1 \quad -1 \\ 1 \quad 0\end{bmatrix}}_{\text{复合矩阵}} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$