计算方法 - 第 2 章 插值法 - 问题解决
最编程
2024-04-23 08:50:36
...
构造《函数-均差表》：
| \(x\) | \(f(x)\) | 一阶均差 |
|---|---|---|
| \(x_0\) | \(f(x_0)\) | |
| \(x_1\) | \(f(x_1)\) | \(f[x_0,x_1]\) |
然后构造函数：
\[P_3(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\cdot(x-x_0)+A\times(x-x_0)(x-x_1)+B\times(x-x_0)^2(x-x_1) \]
\[P_3^{(1)}(x)=f[x_0,x_1]+A\times[2x-(x_0+x_1)]+B\times[(x-x_0)^2+2(x-x_0)(x-x_1)] \]
\[P_3^{(2)}(x)=2A+B\times[2(x-x_0)+2\cdot[2x-(x_0+x_1)]] \]
将\(P_3^{(1)}(x_0)=f^{(1)}(x_0)\)、\(P_3^{(2)}(x_0)=f^{(2)}(x_0)\)分别代入可得：
\[P_3^{(1)}(x_0)=1+A\times(x_0-x_1)=f^{(1)}(x_0) \]
\[P_3^{(2)}(x_0)=2A+B\times[2\cdot(x_0-x_1)]=f^{(2)}(x_0) \]
解得：
\[A=\frac{f^{(1)}(x_0)-f[x_0,x_1]}{x_0-x_1},\qquad B=\frac{f^{(2)}(x_0)\times(x_0-x_1)-2[f^{(1)}(x_0)-f[x_0,x_1]]}{2(x_0-x_1)^2} \]
代入函数，可得：
\[\begin{aligned}P_3(x)&=f(x_0)+f[x_0,x_1]\cdot(x-x_0)\\\\&+\frac{f^{(1)}(x_0)-f[x_0,x_1]}{x_0-x_1}\times(x-x_0)(x-x_1)\\\\&+\frac{f^{(2)}(x_0)\times(x_0-x_1)-2[f^{(1)}(x_0)-f[x_0,x_1]]}{2(x_0-x_1)^2}\times(x-x_0)^2(x-x_1)\end{aligned} \]
不妨整理一下（将\(x-x_1\Longrightarrow x-x_0+x_0-x_1\)），易得（放????，难得一批）：
\[P_3(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)\times(x-x_0)+\frac{1}{2}f^{''}(x_0)\times(x-x_0)^2+[\frac{f[x_0,x_1]-f^{'}(x_0)}{x_1-x_0}-\frac{1}{2}f^{''}(x_0)]\times\frac{(x-x_0)^3}{x_1-x_0} \]
至此证毕，所以……大家知道为啥我愿称之为“暴力硬核待定系数法”了嘛？我去梳梳头皮了先
。
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