5.5 平板对流传热动量积分方程和能量积分方程求摩擦系数和 Nu 数

最编程 2024-04-24 14:45:08

...

5.5对流换热边界层积分方程推导

标签（空格分隔）：传热学

边界层对流换热问题可以分别通过建立动量、能量积分方程进行分析求解

一.边界层动量积分方程式及求解

两种方法①边界层内取任一有限微元段，根据质量、动量、能量守恒院里进行推导；②对边界层微分方程②将前面已经推导得到的边界层微分方程沿边界层厚度积分，可以导出(P223习题5-11)

方法①的物理过程比较清晰，思路有启发性，有助于理解

$\color{#F00}{注意该方法是可以较为简单的数学方式解出结果的一种手段，数学内容上不超纲}$

在边界层中x出内取微元段abcd，这个微元段会涵盖一部分边界层以及一部分主流区域

假设：常物性、二维、稳态、不可压缩

1.根据流动第二定律，F=ma

该微元段内流体在单位时间内的动量变化等于它受到的力

y方向上的速度v很小，只考虑x方向的动量和力

1.1动量的变化,微元体动量的变化是流入导致

001.png

思考一下，边界层为什么会越来越厚，是因为流体的粘滞力不断向内部传递，越来越多的流体受到速度梯度影响带来的粘滞力；反过来，边界层变厚，以为着更多的主流方向的流体流进边界层

从ab面和bc面进，从cd面出，ad面是固体无流动

(1)进入ab面流体的动量
因为边界层内速度不均匀，速度梯度大，取离壁面y处取dy厚度，单位时间进入此段的质量流量：
$密度\cdot 速度\cdot 面积$
$\rho\cdot u \cdot dy\cdot 1$
$单位时间的动量：质量流量×速度=\rho u^2dy$
积分起来,进入ab面的动量: $\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy}$
积分起来,进入ab面的质量: $\rho \int_0^\delta udy$
(2)离开cd面流体的动量：（经过dx段的泰勒公式）:
$\rho \int_0^\delta u^2dy+\frac{\partial}{\partial x}[\rho \int_0^\delta u^2dy]dx$
y方向上与x方向无关, 偏微分变变化为常微分：
$\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy+\rho\frac{d}{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx}$
(3)主流方向进入bc面的质量：（主流速度 $u_\infty$ ）
ab面进入+bc面进入=cd面出去
由ab面进入微元段的质量: $M_{ab}=\rho \int_0^\delta udy$
离开cd面的质量 $M_{cd}=M_{ab}+\frac{\partial M_{ab}}{\partial x}dx=\rho \int_0^\delta udy+\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta udy)dx$
因此 $M_{bc}=M_{cd}-M_{ab}=\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta udy)dx$
bc面的动量=质量流量×主流速度
$\color{#F00}{\rho u_\infty\cdot\frac{d}{dx}(\int_0^\delta udy)dx}$

1.2流体通过微元段abcd的动量变化:流出的动量减去流入的动量=受力

离开cd面的-进入ab面-进入bc面的动量(三个红色公式)
$\rho\frac{d}{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx-\color{#0F0}{\rho u_\infty\cdot\frac{d}{dx} (\int_0^\delta udy)dx}$

1.3数学简化过程

上面的式子右边绿色可以简化
$\rho u_\infty\cdot\frac{d}{dx}\rho (\int_0^\delta udy)dx=u_\infty d(\rho\int_0^\delta udy)$
换元处理把 $X=u_\infty,Y=\rho\int_0^\delta udy$
已知 $d(X\cdot Y)=XdY+YdX$ ，因此 $XdY=d(X\cdot Y)-YdX$
积分项带入上式：
$u_\infty d(\rho\int_0^\delta udy)=d(u_\infty \cdot \rho\int_0^\delta udy)-\rho\int_0^\delta udy\cdot du_\infty\\ 等式右边这一项可以处以一个dx 乘以一个dx,u_\infty 是常数提取出来\\ =\color{#0F0}{\rho \frac{d}{dx}(\int_0^\delta u_\infty udy)dx-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx}$
绿色部分带入，动量变化为：
$\rho\frac{d}{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx-[\rho \frac{d}{dx}(\int_0^\delta u_\infty udy)dx-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx]\\ 合并\rho\frac{d}{dx}这一项\\ =\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u_\infty u-u^2)dy)dx$
上面的动量变化中，有一项很接近 $u\cdot u_\infty-u^2，\because u_\infty>u$
$\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)dx$

2.力平衡分析

F=ma,x方向上在微元段受到的力产生了x方向上的动量变化

牛顿粘性运动，剪切应力 $\tau_w=\eta(\frac{\partial u}{\partial y})_w$
(1)壁面ad上的粘滞力等于应力乘以面积
$-\tau_w\cdot dx\cdot 1$
(2)ab面和cd面上的压力差产生的力:
以前有一个重要推论，经过量纲分析知道 $\frac{\partial p}{\partial y}=0$
整个ab面上的压力就是主流上的压力p
cd方向上， $\frac{\partial p}{\partial x}\neq 0$ 有可能
还是泰勒公式 $p+\frac{\partial p}{\partial x}\cdot dx$
上面所说的压力p实际上是压强，p要乘以面积，面积等于 $\delta\cdot 1,(\delta+\frac{\partial \delta}{\partial x}dx)\cdot 1$
压力相减：
$p\delta-(p+\frac{dp}{dx}\cdot dx)(\delta+\frac{d\delta}{dx}dx)=-p\frac{d \delta}{dx}dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$
(3)顶面bc斜面受到的压力：
压强乘以x方向上的投影面积,距离是cd面的边界层厚度-ab面的边界层厚度= $d\delta=\frac{d\delta}{dx}dx$
$p\cdot d\delta\cdot 1$
(4)沿顶部边界不受粘性力，主流区是欧拉方程的理想流体

合力

$-\tau_w\cdot dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$

合力作用——动量变化——F=ma

$\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)dx=-\tau_w\cdot dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$
上式消去所有的dx
$\require{cancel} \rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)\cancel{dx}-\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)\cancel{dx}=-\tau_w\cdot \cancel{dx}-\delta\frac{dp}{dx}\cancel{dx}$

最终

$\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)=\tau_w+\delta\frac{dp}{dx}$

处理压力项在量纲分析中，我们得到了一个关系式，欧拉方程 $-\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}$

上式两边分别乘以 $\delta或者\int_0^\delta dy$ ,实际上是一个东西，左右分别乘
$-\delta \frac{dp}{dx}=\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta u_\infty dy$
形式逐渐统一起来,将压力项带入牛顿第二定律的方程
$\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)=\tau_w-\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta u_\infty dy$

合并

$\color{#00F}{\tau_w=\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)+\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta(u_\infty-u)dy}$

3.上面为冯卡门边界层动量积分方程，适合层流，湍流

外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数

对于常物性流体平板主流速度为常数 $u_\infty=0;\frac{du_\infty}{dx}=0$
$\require{cancel} \color{#00F}{\tau_w=\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)+\cancel{\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta(u_\infty-u)dy}}$

简化了一下 $\color{#00F}{\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy=\eta(\frac{\partial u}{\partial y})_w}$

这就是通过积分方程得到与将动量方程积分一样的结果(P223 5-11)

求解它,需要速度分布才能积分出来，现在没有速度分布，求不了（鸡蛋问题又来了）

4.假设一个速度分布，因此这个也叫近似解

根据经验假速度分布为三次多项式: $u=a+by+cy^2+dy^3$
条件 $\color{#F00}{① y=0，u=0;②y=\delta,u=u_\infty}$

边界层特性，越接近避免处速度梯度越大，那么壁面y=0处速度梯度应该达到最大值，因此二阶导数=0;边界层为速度达到99%，速度梯度为0

条件 $\color{#F00}{③y=0,\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0;④y=\delta,\frac{\partial u}{\partial y}=0}$

四个未知数，4个边界条件,解出a，b，c，d四个数

$\begin{cases} a=0;\\ b=\frac{3}{2}\frac{u_\infty}{\delta};\\ c=0;\\ d=-\frac{u_\infty}{2\delta^3}\\ \end{cases}$

边界层内无量纲的速度分布 $\frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3$

有了速度分布，可以得到剪切应力所需要的的壁面y=0处速度梯度 $(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\frac{u_\infty}{\delta}$

力 $\tau_w=\eta\cdot(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}$

5.求解动量积分方程：

$\color{#00F}{\rho\frac{d}{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}}\\ \frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3$

速度分布带入积分方程,繁琐但是可以得到

等式左边= $\frac{39}{280}\rho u_\infty^2\frac{d\delta}{dx}$ =等式右边,注意 $\nu=\eta/\rho$

$\color{#F0F}{\frac{39}{280}\rho u_\infty^2\frac{d\delta}{dx}=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}};\\ \frac{13}{140}u_\infty\frac{d\delta}{dx}=\nu\frac{1}{\delta};\\ \delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}dx$

6.去掉积分号，求解微分方程 $\color{#F00}{\delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}dx}$

积分得到边界层厚度与位置，主流速度的关系

$\int_0^\delta\delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}\int_0^xdx;\\ \delta=4.64\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}=4.64\sqrt{\frac{\nu}{u_\infty x}}x=4.64xRe_x^{-1/2}$
与通过边界层量纲分析相比，一个系数4.64，一个系数5.0,差别不大

有了边界层厚度，带入粘滞应力 $\tau_w=\eta\cdot(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}$

$\tau_w=0.323\frac{\eta u_\infty^{3/2}}{\sqrt{\nu x}}$
而流体力学中，粘滞应力与局部摩擦系数(范宁数)有如下关系:
$\tau_w=C_{f,x}\frac{\rho u_\infty ^2}{2};\\ C_{f,x}=\frac{2\tau_w}{\rho u_\infty^2}=0.646\frac{\nu}{\sqrt{\nu xu_\infty}}=0.646Re_x^{-1/2}$

量纲分析中上面的系数0.664 vs 0.646，差别不大

二、边界层能量积分方程式及求解

1.目的：求解热边界层的温度场、热边界层的厚度、壁面处的温度梯度得到表面传热系数

(思路类似，通过场分布得到厚度，厚度，壁面处梯度与厚度的关系得到关心的系数)

2.假设： $①壁温为t_w;②主流温度为t_f；③主流速度为u_\infty$ ;④稳态，无内热源，常物性;Pr>1(热边界层厚度小于流动边界层厚度);二维；流速不快没有粘性耗散

002.png

利用量纲分析中的已知结论: $\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}<<\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}$

推导过程中不考虑x方向上的导热，只考虑y方向上的导热

vs 动量方恒中只考虑x方向上的动量变化

abcd段的能量守恒: $Q_{导热}+Q_{对流}=\Delta U+W$ ，稳态内能不变 $\Delta U=0$ ,不可压缩 $W=0$

$Q_{导热}+Q_{对流}=0$

换句话说：流体带（流）入微元段的热量=由壁面导出的热量+流体带（流）出的热量

由于流体沿着x方向上的温度梯度很小，因此流体在x方向只有对流带出，没有x上导热

3.守恒分析，流体带入微元段的热量ab,bc，带出cd面，导出ad面

(1)ab面：质量流量×比热×温度
质量流量为 $\rho udy$
因为温度梯度很大，不均匀，因此取dy一个微元
$\rho u dy\cdot c_pt$
微元段经过y方向上的积分，得到 $\int_0^\delta(\rho udy)\cdot c_p\cdot t=\rho c_p\int_0^\delta tudy$
对比一下带入的动量 $\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy}$ ，一个是质量流量乘以速度u一个是质量流量乘以Cp t
(2)bc面上的质量流量前面已推：

$\color{#F00}{①为什么我们先推复杂的动量守恒？②为什么bc段不能直接得出？③为什么要假定热边界层厚度低于流动边界层厚度}$

$M_{bc}=M_{cd}-M_{ab}=\rho\frac{d}{dx} (\int_0^\delta udy)dx$
有了质量分布就好求了

注意边界层外的速度为 $u_\infty；因此动量积分方程中乘以u_\infty，这里的温度为流体温度t_f$

$\rho c_p t_f\frac{d}{dx} (\int_0^\delta udy)dx$
(3)cd面带出的热量：
cd面和ab面都在边界层以内，可以通过ab面的热量泰勒展开得到
$\rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p\frac{d}{dx}(\int_0^\delta tudy)dx$
(4)ad面(通过壁面)导出的热流量,不是热流密度：(注意我们假设壁面温度低于流体冷却)
$-(-\lambda\frac{\partial t}{\partial y})_w\cdot dx\text{(-y方向)}$

4.合并，流体带入=壁面导出+流体带出（ab,bc进，cd，ad出）

$\require{cancel} \rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p t_f\frac{d}{dx} (\int_0^\delta udy)dx=\\ \rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p\frac{d}{dx}(\int_0^\delta tudy)dx+\lambda(\frac{\partial t}{\partial y})_w dx\\ \therefore \cancel{\rho c_p\int_0^\delta tudy+}\rho c_p t_f\frac{d}{dx} (\int_0^\delta udy)dx=\\ \cancel{\rho c_p\int_0^\delta tudy+}\rho c_p\frac{d}{dx}(\int_0^\delta tudy)dx+\lambda(\frac{\partial t}{\partial y})_w dx$

假定流体温度 $t_f=const$ 这个假设与平板模型主流速度为常数有一样的效果

上式合并，两边除以 $\rho c_p$ ,约去dx项简化为：
$\frac{d}{dx}(\int_0^\delta u(t_f-t))dy=a(\frac{\partial t}{\partial y})_w\tag{能量积分方程}$
对比一下动量积分方程，形式接近
$\frac{d}{dx}(\int_0^\delta u(u_\infty-u))dy=\nu(\frac{\partial u}{\partial y})_w\tag{动量积分方程}$

5.假设温度分布，求解积分方程

前面已经得到了假设下的速度场分布，同理我们假设温度分布并进行4个系数所需条件的分析

$t=a+by+cy^2+dy^3$

根据热边界层特性，温度分布在热边界层内靠近壁面处梯度最大，接近边界处梯度为0

$\color{#F00}{①y=0:t=t_w,②(\frac{\partial ^2t}{\partial y^2})_w=0}$
$\color{#F00}{③y=\delta_t:t=t_f,④(\frac{\partial t}{\partial y})_{\delta_t}=0}$

把边界条件带入假设的温度分布函数，解得a,b,c,d

$\begin{cases} a=t_w;\\ b=\frac{3}{2}\frac{t_f-t_w}{\delta_t};\\ c=0;\\ d=-\frac{1}{2}\frac{t_f-t_w}{\delta_t^3}\\ \end{cases}$

温度分布无量纲化形式如下 $\theta=t-t_w$ :

$\frac{t-t_w}{t_f-t_w}=\frac{\theta}{\theta_f}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3$
不难发现，这个式子还有一个未知数 $\delta_t$ ,前面动量方程的求解思路也类似，需要知道边界层厚度才能得到具体的速度分布，才能得到剪切应力与摩擦系数

$(\frac{\partial t}{\partial y})_w=(\frac{\partial \theta}{\partial y})_w=\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}$ 有了热边界层厚度，才有温度分布梯度，才有对流换热系数

6.将速度分布与温度分布带入能量积分方程求解

$\begin{cases} \frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3\\ \frac{\theta}{\theta_f}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3\\ \frac{d}{dx}(\int_0^\delta u(t_f-t))dy=a(\frac{\partial t}{\partial y})_w\tag{分布带入积分方程求解} \end{cases}$

注意这里积分中分段处理，有 $\color{#F00}{\delta和\delta_t并且\delta_t<\delta}$ ,积分路径从 $0到\delta_t再从\delta_t到\delta$

根据热边界层定义简化积分

$\require{cancel} \int_0^\delta u(t_f-t)dy=\int_0^{\delta_t} u(t_f-t)dy+\int_{\delta_t}^\delta u(t_f-t)dy\\ \int_0^\delta u(t_f-t)dy=\int_0^{\delta_t} u(t_f-t)dy\cancel{+\int_{\delta_t}^\delta u(t_f-t)dy}$

两根温度分布带入简化后的积分方程，形式如下，高数内容可解，过程繁琐

$\color{#F00}{\frac{d}{dx}(\int_0^{\delta_t}u_\infty[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3]\cdot \theta_f[1-\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}+\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3]dy)=a\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}}\\ \color{#0F0}{t_f-t=t_f-t-t_w+t_w=\theta_f-\theta=\theta_f[1-\frac{\theta}{\theta_f}]}$

假设一个比例系数 $\zeta=\delta_t/\delta；\delta_t=\zeta\delta$

积分式子变换一下，提取出常数项 $u_\infty,\theta_f$

7.积分方程数学求解(仅供欣赏)

$\color{#F00}{u_\infty\frac{d}{dx}(\int_0^{\delta_t}[\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{9}{4}\frac{y^2}{\delta^2\zeta}+\frac{3}{4}\frac{y^4}{\delta^4\zeta^3}-\frac{1}{2}\frac{y^3}{\delta^3}+\frac{3}{4}\frac{y^4}{\delta^4\zeta}-\frac{1}{4}\frac{y^6}{\delta^6\zeta^3}]dy)=\frac{3}{2}\frac{a}{\delta\zeta}}$

把对y的多项式积分积出来

$\frac{2}{3}u_\infty\frac{d}{dx}(\delta\zeta^2[\frac{3}{20}-\frac{3}{280}\zeta^2])=\frac{a}{\delta\zeta}$

前面假设了Pr>1，因此 $\delta_t<\delta,\frac{3}{280}\zeta^2$ 被忽略

微分方程简化为:

$\frac{1}{10}\frac{d}{dx}(\delta\zeta^2)=\frac{a}{\delta\zeta}\\ \therefore全微分出来 \frac{1}{10}u_\infty(2\delta\zeta\frac{d\zeta}{dx}+\zeta^2\frac{d\delta}{dx})=\frac{a}{\delta\zeta}$

动量方程中，我们已经推倒过 $\frac{d\delta}{dx}的关系以及\delta与x的关系$

$\frac{d\delta}{dx}=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty\delta}\\ \delta=4.64\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}$

带入速度温度分布的积分方程积出来之后有了一个微分方程，并且用到之前动量积分方程中求解已经得到结论带入微分方程中，转换为关于 $\zeta=f(x)$ 的微分方程

8.转换形式，最终求解

$\zeta^3+4x\zeta^2\frac{d\zeta}{dx}=\frac{13}{14}\frac{a}{\nu}=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}\\ \zeta^3+\frac{4}{3}x\frac{d\zeta^3}{dx}=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}$
上面的微分方程中把 $\zeta^3当做一个整体,为一阶线性常微分方程$
$y=f(x)=\zeta^3$
$\frac{4}{3}x\cdot f(x)+f(x)=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}$